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2019高考理科数学模拟题及答案（带解析）

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【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2
1．已知集合A2,1,0,2,3,By|yx1,xA，则AB中元素的个

数是

A.2B.3C.4D.5

2．i是虚数单位，复数zaiaR满足z2z13i，则z

A.2或5B.2或5C.5D.5

3．设向量a与b的夹角为，且a(2,1)，a2b(2,3)，则cos＝

33
A.B.C.5D.25
5555

1
4．已知tan，则tan2
24

A.7B.7

C.1D.1
77

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱

柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图

所示，则该“堑堵”的表面积为

A.4

B.642

C.442

D.2

6．已知数列an,bn满足bnanan1，则“数列an

为等差数列”是“数列bn为等差数列”的

2
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A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

7．执行如图所示的程序框图，则输出的a

5
A.1B.1C.4D.
2

107
8．在x2展开式中，二项式系数的最大值为a，含x项的系数为b，

b
则
a

80212180
A.B.C.D.
21808021

x2y50
22
9．设实数x,y满足约束条件xy40，则zxy的最小值为
3xy100

A.10B.10C.8D.5

10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，

则所得工件体积与原料体积之比的最大值为

663232
A.B.C.D.
3684

22
xy
11．已知O为坐标原点，F是双曲线:1a0,b0的左焦点，
a2b2

A,B分别为的左、右顶点，P为上一点，且PFx轴，过点A的

直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，

若OE2ON，则的离心率为

34
A.3B.2C.D.
23

xx2
12．已知函数fxlneex，则使得f2xfx3成立的x的

取值范围是

A.1,3B.,33,

3
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C.3,3D.,13,

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3
13．曲线yx与yx所围成的封闭图形的面积为.

1
14．已知an是等比数列，a5,4a3a72，则a7.
2

22
xy
15．设F1,F2为椭圆C:1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线
a2b2

交椭圆C于A,B两点，若F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C

的方程为.

16．已知x1,x2是函数fx2sin2xcos2xm在0,内的两个零点，则
2

sinx1x2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选

考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

已知acosAcosBbsin2AccosA2bcosB.
（I）求B；

（II）若b7a，ABC的面积为23，求a.

18.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理

科生人数之比为1:3，且成绩分布在40,100，分数在80以上（含80）

的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样

本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.

4
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0
（I）在答题卡上填写下面的能否有超过950的把握

认为“获奖与学生的文理科有关”？

文科生理科生合计

获奖5

不获奖

合计200

（II）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学

生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列

及数学期望.

n(adbc)2
附表及公式：K2，其中nabcd
(ab)(cd)(ac)(bd)

2
PKk0.150.100.050.0250.0100.005

k2.0722.7063.8415.0246.6357.879

19.（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，

5
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ABC60，PBPCPD.
（I）证明：PA平面ABCD；

（II）若PA2，求二面角APDB的余弦值.

2
20.（12分）已知抛物线C:x2pyp0，圆O:x2y21.

（I）若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，

求AF；

（II）若直线l与抛物线C和