Bloch型空间和几类空间之间的算子的性质的任务书.docx

Bloch型空间和几类空间之间的算子的性质的任务书
任务概述：
本文旨在介绍Bloch型空间和几类空间之间算子的性质。其中，Bloch型空间是指一种复缩的空间，它在复分析中是一个重要的空间。而待讨论的几类空间包括Hardy空间、BMOA空间、BMO空间以及Dirichlet型空间。文章将从Bloch型空间的定义出发，逐步阐述各个空间以及它们之间的联系与差异，并分别对它们之间的算子进行探究。
第一部分：Bloch型空间
Bloch型空间是指把某个复变函数f(z)整体压缩到单位圆上得到的空间。具体来说，Bloch型空间的定义如下所示：
Β={f∈H(U):||(zf)'||∞<∞}。
其中，H(U)表示单位圆内的全纯函数，zf'表示f在圆上的导数。Bloch型空间能够度量函数在单位圆上的拉伸以及（近似）处处可微的性质。
接下来我们将介绍与Bloch型空间相关的两个算子。
1.Bloch算子
Bloch算子是指下列算子：
B(f)(z)=f(z)+zf'(z)
Bloch算子是Bloch型空间中的一个自然算子，即B:H(U)→H(U)。Bloch算子在Bloch型空间内不具有显式可解性，它的经典结果是非线性性与半线性性，即：
B(αf+βg)=αB(f)+βB(g)+h(f,g,z)
其中α,β∈C,h(f,g,z)是一个在f,g,z各自的性质下有定义、但不易写出的函数。
2.超声速算子
超声速算子（supersonicoperator）是指下列算子：
S(f)(z)=f(z)+(α-1)zf'(z)
超声速算子常被用于研究Bloch型空间中的一些函数类。它拥有与Bloch算子相同的非线性性质。
第二部分：Hardy空间
Hardy空间是指满足下列条件的全纯函数f：
||f||H^p=sup|α|≤1|f(α)|+supr>01/r(integralof|f'(z)|^p,from|z-α|<r)^(1/p)<∞
其中p≥1，且f满足上述条件的函数构成了Hardy空间Hp。Hardy空间的性质与Bloch型空间有部分重叠，接下来介绍Hardy空间中的一个算子：模摆动算子。
1.模摆动算子
模摆动算子（Modulusofoscillationoperator）是指下列算子：
M(f)(z)=supr>0[sup’’≥sup’≥1|f(z)-f(z')|/(|z-z'|^αlog(r/(|z-z’|)))]
其中0<α<1。模摆动算子不仅能够测量函数在某个点的震荡程度，还能够捕捉函数的其他性质。在Hardy空间中，模摆动算子的显式性质尚未被完全解决。
第三部分：BMOA空间
BMOA空间是指所有具有平均有限振荡性质（BMO为BoundMeanOscillation的缩写）的全纯函数空间，其定义如下：
f∈BMOA⟺sup|r|<11/(2π)|∫_0^(2π)f(re^it)dt-f(z)|<∞
其中，f(z)为全纯函数。BMOA空间相对于Hardy空间而言，不再要求全纯函数的导数有限。下面介绍BMOA空间中的一个算子：位移算子。
1.位移算子
位移算子（Translationoperator）是指下列算子：
T_α(f)(z)=f(z-α)
其中α∈ℂ，它在BMOA空间中有重要应用，能够测度函数的平衡性。
第四部分：BMO空间和Dirichlet型空间
BMO空间和Dirichlet型空间分别是由平均有限振荡性质和调和方面的限制所定义的空间。下面将分别介绍它们中的算子。
1.BMO空间
BMO空间是指以下限制条件下的全纯函数空间：
||f||BMO=sup|α|≤1|f(α)|+supr>0sup|z-w|<r1/(2πr)∫_0^^(2π)|f(z)-f(w)|ds<∞
BMO算子是BMO空间的一个重要算子：
BMO(f)(z)=supBMO{∣f(z)-f(w)∣/(1-¦z-w|)}
其中，supBMO表示对BMO空间中的每个点w取下确界。
2.Dirichlet型空间
Dirichlet型空间是指所有调和有界函数，它的定义如下：
f∈D⟺sup|α|≤1|f(α)|+supz∈Ｃ∫_0^π|f(re^(it))|dt<∞
Dirichlet型空间中的算子也是有所不同的，此处简要介绍：
唯二算子：
第一，条件算子C：其定义如下所示：
C(f)(z)=limr→1sup|w−z|<rM(f)(w)
其中M(f)(w)为函数f在以w为圆心半径为r的圆盘上的最大值，C算子能够测量函数的连续性。
第二，Dirichlet积分算子：其定义如下所示：
T(f)(z)=p.v.∫_0^^(2π)f(re^(it))/(1−zre^−it)dt
Dirichlet积分算子能够捕捉函数的无界性。
结论：
本文从Bloch型空间的定义出发，介绍了与