数列通项公式的求法.doc

数列通项公式的求法集锦
非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎结合近几年的高考情况,对数列求通项公式的方法给以归纳总结.
累加法
形如(n=2、３、４…。.。）且可求,则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式,然后用这种方法求解．
在数列｛}中，=１,(n=2、3、4……)，求｛}的通项公式。
解:∵
这n—１个等式累加得:=
故且也满足该式∴().
例２.在数列{}中,=1,（)，求。
解：n=1时，=１以上n—1个等式累加得
＝=,故且也满足该式∴(）。
累乘法
形如(ｎ＝2、3、4……)，且可求,则用累乘法求。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解.
例3．在数列{}中,＝1，，求。
解:由已知得,分别取ｎ＝１、2、3……（n—１）,代入该式得n—1个等式累乘，即＝１×２×3×…×(ｎ—１)=（n—1)!所以时,故
且=1也适用该式∴().
例4．已知数列{｝满足=，,求.
解:由已知得，分别令n＝1，2,３,…。(n-1),代入
上式得ｎ—１个等式累乘，即=
所以,又因为也满足该式，所以．
三、构造等比数列法
原数列{}既不等差，也不等比。若把｛}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列,使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或＝或=其中b、c为不相等的常数,为一次式。
例５、（0６福建理22)已知数列{｝满足=１，=(），求数列{｝的通项公式。
解：构造新数列,其中ｐ为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列
即=整理得：=使之满足=∴p=1
即是首项为=２,q=2的等比数列∴==
例6、（0７全国理2１)设数列{｝的首项,=,n=2、3、4……
（)求｛}的通项公式。
解:构造新数列，使之成为的等比数列
即=整理得:=满足=
得＝∴p＝-1即新数列首项为,的
等比数列∴=故=+1
例7、(07全国理22）已知数列｛}中,=２,=
（）求{｝的通项公式。
解:构造新数列，使之成为的等比数列
＝整理得：=+
使之满足已知条件=+２∴解得∴是首项为的等比数列,由此得
=∴=
例8、已知数列｛｝中,＝1,=，求数列的通项公式。
分析:该数列不同于以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列,其中为常数，使之为公比是的系数2的等比数列.
解:构造数列,为不为０的常数，使之成为q＝2的等比数列
即=整理得:=
满足＝得∴新数列是首项为＝,ｑ=２的等比数列∴=∴＝
例９、（０7天津文２０）在数列{｝中,=2，=,求数列的通项。
解：构造新数列，使之成为ｑ=４的等比数列，则=
整理得:=满足=,即得∴新数列的首项为,ｑ=4的等比数列
∴∴
四、构造等差数列法
数列{}既不等差，也不等比,递推关系式形如，那么把两边同除以后,想法构造一个等差数列，从而间接求出。
例10．（07石家庄一模）数列｛｝满足且。求、、是否存在一个实数,使此数列为等差数列?若存在求出的值及；若不存在，说明理由。
解：由==81得＝33;又∵==３3得＝1３;
又∵==１3,∴=５
假设存在一个实数,使此数列为等差数列
即＝==该数为常数
∴=即为首项，d=１的等差数列
∴=2＋=n+１∴=
例１1、数列{}满足＝(）,首项为,求数列｛}的通项公式。
解：=两边同除以得=＋1
∴数列是首项为=1,ｄ=1的等差数列∴=1＋
故＝
例１２．数列{}中,=５,且（n=2、３、4……）,试求数列{｝的通项公式。
解:构造一个新数列，为常数,使之成为等差数列,即
整理得+３,让该式满足∴取，得,d=１,即是首项为，公差d＝1的等差数列。
故∴=
例13、（０7天津理21)在数列{｝中,=2,且（）其中>0,求数列｛｝的通项公式.
解:的底数与的系数相同,则两边除以得
即∴是首项为，公差d=１的等差数
列.∴∴.
取倒数法
有些关于通项的递推关系式变形后含有项,直接求相邻两项的关系很困难,但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。
例1４、已知数列{}，=，,求=?
解:把原式变形得两边同除以得
∴是首项为,d=的等差数列故∴.
例15、(06江西理2２)已知数列｛｝满足，且(）求数列{}的通项公式。
解：把原式变形成两边同除以得
即……⑴构造新数列，使其成为公比ｑ=的等比数列
即整理得:满足⑴式使∴
∴数列是首项为,ｑ＝的等比数列
∴∴。
例16.(06江西文22）已知各项均为正数的数列{}满足:,且求数列{}的通项公式。
解：把原式变形为
两边同除以得移项得:
所以新数列是首项为q＝2的等比数列。
故解关于的方程得.
六.利用公式求通项
有些数列给出｛｝的前n项和与的关系式=,利用该式写出,两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出.
例1７．（0７重庆21题)已知各项均为正数的数列｛}的前ｎ项和为