省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷及参考答案PDF(一.pdf

2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷

（一）

一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）
1．（5分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形
AOC、△COB、弓形BmC的面积为S、S、S，则它们之间的关系是（）
123

A．S＜S＜SB．S＜S＜SC．S＜S＜SD．S＜S＜S
123213132321
2．（5分）如图，表示阴影区域的不等式组为（）

A．B．

C．D．

3．（5分）正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，设p=+++，

则（）

A．p＞5B．p=5

C．p＜5D．p与5的大小关系不确定

4．（5分）函数y=ax2+bx+c图象的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）

2﹣b2，（a+b）2﹣c2，b2﹣a2等代数式的值中，正数有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（5分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进
出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x，x，x分别表示该时段单位时
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间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段

上驶入与驶出的车辆数相等），则有（）

A．x＞x＞xB．x＞x＞xC．x＞x＞xD．x＞x＞x
123132231321

二、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）

6．（6分）已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是．
7．（6分）在一个3×3的方格表中填有1～9这9个数字，现将每行中数字最大
的那个格子涂红色，数字最小的那个格子涂绿色．设M为三个红色方格中数字
最小的那个数，m是三个绿色方格中数字最大的那个数，则M﹣m可以有

个不同的值．
8．（6分）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共

边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为．

9．（6分）方程2x2﹣xy﹣3x+3y+2006=0的正整数解（x，y）为．
10．（6分）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（2，﹣
3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、

CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标：．

11．（6分）以[x]表示不超过x的最大整数（例如：[π]=3，[﹣]=﹣4），记

A=[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有的正整数中，有些数是A取不到的，把所有A取

不到的正整数从小到大排起来，第30个数是．
12．（6分）现有长144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度为不小于

1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为．

13．（6分）已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a为非负整数）

至少有一个整数根．那么a=．
14．（6分）用标有1克，2克，6克，26克的砝码各一个，在一架无刻度的天平
上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的

重物）有种．
15．（6分）如图，AB，CD是圆O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上一点，

PE切圆O于E，BE交CD于F，AB=6cm，PE=4cm，则EF的长为cm．

三、解答题（共1小题，满分15分）

16．（15分）k、a、b为正整数，k被a2、b2整除所得的商分别为m，m+116．

（1）若a，b互质，证明a2﹣b2与a2、b2都互质；

（2）当a，b互质时，求k的值．

（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．

2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学
试卷（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）
1．（5分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形
AOC、△COB、弓形BmC的面积为S、S、S，则它们之间的关系是（）
123

A．S＜S＜SB．S＜S＜SC．S＜S＜SD．S＜S＜S
123213132321

【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，

∵∠COA=60°，

∴∠COB=120°，则∠COD=60°．

∴S=；
扇形AOC

S=．
扇形BOC

在三角形OCD中，∠OCD=30°，

∴OD=，CD=，BC=R，

∴S=，S==，
△OBC弓形

＞＞，

∴S＜S＜S．
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故选B．

2．（5分）如图，表示阴影区域的不等式组为（）

A．B．

C．D．

【解答】解：∵x≥0表示直线x=0右侧的部分，2x