湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)试卷.doc

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2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）当x＝时，代数式+的值是（）
A．3 B．1﹣2 C．3﹣2 D．2﹣1
2．（4分）如果一直角三角形的三边为a，b，c,∠B＝90°,那么关于x的方程a(x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定根的情况
3．（4分）两年期定期储蓄的年利率为2.25％,按照国家规定,所得利息要缴纳20％的利息税，王大爷于2002年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元,则王大爷2002年6月的存款额为（）
A．20000元 B．18000元 C．15000元 D．12800元
4．（4分)如图，MN是⊙O的直径,∠A＝20°，∠PMQ＝50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）
A．正七边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正十边形
5．（4分）如图，AB＝AC,EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠B的度数为（）
A．45° B．50° C．55° D．不能确定
6．（4分）已知非零实数a,b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，则+的值等于（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（4分）若函数y＝（x2﹣100x+196+｜x2﹣100x+196｜），则自变量x取1,2，3，4,…99,100这100个自然数时，函数和的值是（）
A．540 B．390 C．194 D．97
8．(4分)设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003,ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（)
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．﹣2003
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．（4分)已知实数a满足｜2002﹣a|+＝a,则a﹣20022的值为．
10．（4分）如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm,∠DEB＝60°，则CD的长为．
11．(4分）AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C′的位置，BC＝4,则BC′的长为．
12．（4分)如图，平行四边形ABCD中，AB＝24，P、Q三等分AC，DP交AB于M，MQ交CD于N，则CN＝．
13．（4分）抛物线y＝ax2与直线x＝1,x＝2,y＝1，y＝2组成的正方形有公共点,则a的取值范围是．
14．（4分)如图，ABCD和EBFG都是正方形，AB＝30cm，则阴影部分的面积为．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中,AB∥DC，∠A＝90°,AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线,D是AC上的一点且BD＝ED，若∠CBD＝20°，则∠CED的度数为．
三、解答题(每小题12分，共36分)
17．(12分）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，也不高于800元/件,经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数y＝kx+b的关系，如图所示．
（1）根据图象,求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润为S元，试问销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时销售量是多少？
18．（12分)如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC，D是⊙O上一点，AD的延长线交BC的延长线于点P．
(1）求证：AB2＝AD•AP；
(2)若⊙O的直径为25，AB＝20,AD＝15，求PC和DC的长．
19．(12分）已知抛物线y＝x2+(2﹣m）x﹣2m（m≠﹣2）与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（B点在C点的左边）．
（1)写出A、B、C三点的坐标；
（2）设m＝a2﹣2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；
（3）设m＝a2﹣2a+4,当∠BAC最大时，求实数a的值．
2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）当x＝时,代数式+的值是（)
A．3 B．1﹣2 C．3﹣2 D．2﹣1
【考点】2C：实数的运算．
【专题】11：计算题;511：实数．
【分析】原式利用算术平方根、立方根的性质化简，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x＝,∴x﹣2＜0，
则原式＝|x﹣2|+1﹣x＝2