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复区域间拟等距映射的边界延拓的开题报告
开题报告：复区域间拟等距映射的边界延拓
一、研究背景与意义
拟等距映射是复变函数论研究中一个非常重要的分支。拟等距映射可以使复平面上的两个区域沿一定的对应关系一一对应，从而达到区域之间的良好对应关系。这在复变函数论中有着广泛的应用，比如解决复变函数的边界描绘问题、Riemann映射定理、双曲几何等领域。然而，边界定义地十分对于分析这类映射函数。我们可以通过定义避免一些极端情况结论的矛盾，但是对于某些包含奇异折线、孤立点的复区域，缺失的部分就需要我们进行边界延拓的处理。
同时，由于其应用非常广泛，拟等距映射的研究也是很多人关注的焦点，而边界延拓则是开展拟等距映射研究的关键。因此，边界延拓的研究显得十分必要，对于深入研究拟等距映射、复分析等领域都十分重要。
二、研究现状
由于拟等距映射的重要性，其研究已经有了相当的成果。在拟等距映射的研究中，边界描绘及其延拓是其中重要的部分。由于边界处复平面区域的多样性，强算法的稳定性和普适性是很难得到保证的。因此，有关拟等距映射边界延拓算法的研究也是多种多样。
目前，较为成熟的边界延拓手段有：内部弱受限逼近（IWA）算法、离散共形映射（DCM）算法等。这些算法在拟等距映射的研究中都有相应的应用。而IWA算法由于其简洁而灵活，被广泛应用于实际研究之中。
三、研究内容
本研究的主要目的是深入研究拟等距映射，结合多种边界延拓手段进行分析，探究其算法优缺点及适用范围。具体研究计划如下：
1.拟等距映射的概念和相关理论
首先，对拟等距映射进行深入的研究，包括其概念、性质和相关理论。为后续的边界延拓研究打下基础。
2.分析现有边界延拓算法
本研究将分析现有的边界延拓算法，重点分析IWA算法的特点、优缺点及适用范围。并对其他算法进行对比分析，探究它们之间的差异。
3.优化算法并实现
针对目前现有算法存在的问题和不足，本研究将对算法进行优化，并尝试使用其他算法对其进行改进，以当地较好地对复区域间的边界进行延拓。
4.实验验证
在理论的基础上，本研究将结合实验验证提出的算法的稳定性和普适性，同样进行IWA实验和对比其他算法。同时还将评估提出的算法在其它领域应用的可行性，拓展算法的应用范围。
四、预期目标和创新性
本研究的预期目标为：
1.深入研究拟等距映射及其边界延拓算法，掌握其理论及应用知识;
2.对现有算法进行分析和改进，使其能适应更为复杂的场合;
3.通过实验验证算法的稳定性和普适性；
4.拓展算法应用范围，推动其在实践应用方面的发展。
同时，本研究具有以下创新点：
1.充分分析现有的边界延拓算法，找到其优缺点及适用范围；
2.针对IWA算法和其他算法的不足提出了改进方案，对算法进行了优化；
3.完善边界延拓的理论体系，扩大其应用领域，促进其实际应用。
五、研究方法
本研究将采取以下方法：
1.文献法：对拟等距映射的相关理论深入研究，梳理相关文献，系统了解拟等距映射的基本概念和性质；
2.算法分析法：对现有的边界延拓算法进行分析，重点研究IWA算法的特点、优缺点及适用范围；
3.改进算法法：针对现有算法不足，提出改进方案，对IWA算法和其他算法进行优化；
4.实验法：通过实验验证算法的可行性和稳定性，进行IWA实验并对比其他算法，评估算法在其他领域的应用价值。
六、预期结果和可行性
本研究预期能够在拟等距映射的边界延拓应用领域中取得较为突出的成果，优化已有算法，提出应用性更强的改进方案，推进边界延拓技术在实际应用中的发展。
针对本研究的可行性，一方面，拟等距映射边界延拓的研究已经开始，其研究成果已经有了初始的应用。另一方面，我有比较坚实的数学理论基础并有较大的兴趣，能够承担这项研究。
七、研究计划和进度安排
本研究预计在2022年3月份完成。
2021年11月~2022年1月：
1.深入研究拟等距映射及其理论；
2.分析现有的边界延拓算法，重点探究IWA算法的优缺点及适用范围；
2022年2月~2022年3月：
1.提出改进方案、对IWA算法和其他算法进行优化；
2.在其他领域应用中评估算法的可行性和应用性；
3.论文写作和整理。
以上是研究计划和进度安排的基本情况。在实际的研究中，还需要根据实际情况进行调整和细化。