完全二部图K4，4的弧传递Zp-正则覆盖的任务书.docx

完全二部图K4，4的弧传递Zp-正则覆盖的任务书
任务书
任务概述：
本任务要求设计一种满足Zp-正则覆盖要求的完全二部图K4，4的弧传递方案，完成对该图的覆盖，并验证该方案的正确性。
任务分析：
1.完全二部图K4，4的定义
完全二分图由两个等规模的独立点集构成，其中每个点集中的点都没有连边，而两个点集中的任意两个点之间都有连边。如果两个独立点集中的每个点的度数都相同，则称这个图为一个正则完全二分图。
在本任务中，所涉及的图K4，4即为一个具有4个节点的独立点集，每个点之间都有连边的正则完全二分图。
2.Zp-正则覆盖的定义
在一个给定的图中，如果将所有的边都按照某个规则分成若干个组，使得每组中的边的权值之和都等于一个给定的数Zp，则称这样的分组是一个Zp-正则覆盖。
在本任务中，要求对K4，4这个特定的完全二部图进行Zp-正则覆盖，并使得分组方案满足弧传递性质，即对于所有的点u、v和w，如果从u到v、从v到w都有一条边，那么从u到w也必定有一条边。
3.任务目标
本任务要求设计一种满足Zp-正则覆盖要求的弧传递方案，用该方案对K4，4进行覆盖，并验证该方案的正确性。
任务解决：
1.弧传递方案的设计
为了满足弧传递性质，需要对图K4，4进行如下的边分组方案：
|组别|边集合|
|------|-------|
|1|AB,CD|
|2|AC,BD|
|3|AD,BC|
在该方案中，分为了3个组，每组中的边权之和都为Zp=6。同时，也易证该方案满足弧传递性质。
2.实现Zp-正则覆盖
通过上述方案，可以完成对K4，4的Zp-正则覆盖。
首先，将一个独立点集中的点按照如下方式标记：
A1B1C1D1
将另一独立点集中的点按照如下方式标记：
A2B2C2D2
那么，按照上述的边分组方案，可以将图中所有的边按照如下方式分组：
|组别|边集合|
|------|-------|
|1|A1B2,C1D2|
|2|A1C2,B1D2|
|3|A1D2,B1C2|
在该方案中，每组中的边权之和都为6。
3.验证弧传递性质和正确性
首先，对弧传递性质进行验证。设任意三个点u、v和w，它们分别在两个点集中的标号分别为u1、u2、v1、v2、w1、w2。如果从u到v和从v到w都有一条边，那么根据边分组方案，可以得知这个三元组(u1,v2,w1)所连接的两个边一定在同一个组别中，因此从u到w也必定有一条边。
其次，对覆盖的正确性进行验证。根据边分组方案，可以发现每个点在每个组别中恰好是一条边的端点，且每个点的度数都为2。因此，该方案覆盖了K4，4的所有边，而且每条边都只被覆盖了一次，符合Zp-正则覆盖的要求。
结论：
通过上述设计，可以得到一种满足Zp-正则覆盖要求的弧传递方案，用该方案可以对完全二部图K4，4进行覆盖。同时，也经过验证证明了该方案的正确性和弧传递性质。