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两类对流问题的间断时空有限元及其误差估计的综述报告
间断问题是指有某些物理性质发生突变或不连续的问题，如流体力学中的冲击波、物理模型中的材料界面等。由于这些问题中存在间断，因此传统有限元方法难以有效地捕捉和模拟间断现象。为此，出现了一系列具有特殊特征的间断时空有限元方法，这些方法被广泛应用于材料科学、地球科学、计算流体力学等多个领域。
一类间断问题的间断时空有限元方法是DiscontinuousGalerkin方法。该方法首先由Reed和Hill于1973年提出，一直被认为是解决有限元间断问题的标准方法。DiscontinuousGalerkin方法的基本思想是使用局部不连续的多项式逼近来确保算法的高精度和高效率。其它事情如数值积分和斯托克斯算法，使这个方法更加适用于解决间断问题。DYNA3D是一款使用DiscontinuousGalerkin方法的常用有限元软件，其主要应用于三维结构动力学问题。
针对第二类间断问题，基于界面的方法是一种另外的间断时空有限元方法。界面有限元方法解决的问题包括有界光源辐射、相变问题、断裂问题等。这类行为通常由它们的描述方程的限制发生。当物理特性随着空间位置的变化发生明显变化时，方程可能非常插值，并且因此难以数值求解。界面有限元方法的主要思想是使用有限元技术在物理区域之间引入界面，在这些区域之间定义连续的量和跳跃项作为连续条件，来解决间断问题。
误差估计在间断时空有限元方法中也扮演着重要的角色，因为误差估计可以用来准确地描述数值解和真实解之间的差异，确定使用什么样的有限元方法更加合适或需要改进之处。常用的一些误差估计方法包括后验误差估计、逆误差估计、比较解误差估计等。后验误差估计基于解的残差或解的导数来计算误差，逆误差估计基于误差来计算解的残差或解的导数，比较解误差估计是通过与其它数值解进行比较来计算误差。
总体而言，间断时空有限元方法及其误差估计在多个领域中都取得了很好的效果，并不断地得到进一步的发展和优化。在未来，这些方法还将继续为解决更多间断问题提供有力的工具和思路。