间断有限元方法的稳定性、误差估计及超收敛性分析的开题报告.docx

间断有限元方法的稳定性、误差估计及超收敛性分析的开题报告
一、选题背景
有限元方法在数学、工程等领域拥有广泛应用，其中，间断有限元方法（DiscontinuousGalerkinMethod，简称DGM）已经成为求解偏微分方程问题的一个有效工具。相较于传统方法，DGM方法的优势在于，它可以作为数值解法处理具有“奇异性”（如不连续点）的问题。而且，DGM方法具有自适应、高阶等优点。然而，由于DGM方法的离散归结为一个广义特征值问题，导致该方法所需要的计算量比传统方法大，并且在稳定性、误差估计、超收敛性方面的研究相对较少。因此，本篇开题报告首先将介绍DGM方法的原理，以及解决DGM方法在稳定性、误差估计、超收敛性方面的最新研究进展。
二、研究目的
1.稳定性分析
DGM方法的稳定性是进行数值计算的基础，因此我们的第一步工作是对DGM方法的稳定性进行深入研究。稳定性分析的关键在于寻找合适的内部耗散机制，防止数值解中不稳定主模式的出现，而稳定性条件的导出将依赖于所使用的数值格式。因此，我们将探讨适合DGM方法的稳定性条件，并基于不同的模型问题进行稳定性数值实验。
2.误差估计
误差估计是评估数值计算准确性的关键。DGM方法可在任意多边形网格上实现高阶收敛，但缺乏传统有限元方法的误差估计理论。因此，我们会考虑通过对DGM方法的误差源进行系统分析，研究基于边界投影方法和内部像素方法的误差估计方法，并在典型模型问题上进行误差估计数值实验。
3.超收敛性分析
DGM方法作为一种高阶数值分析方法，在相似条件下可以比常用的有限元方法更快地收敛。这意味着DGM方法可以在相同的计算资源下实现更高的数值精度。我们的目标是通过理论分析和实验应用，探讨DGM方法的超收敛性质，以及如何改进传统方法实现更高的计算精度。
三、研究方法
本课题的研究方法包括理论分析和数值实验。通过理论分析，我们会从理论基础上分析DGM方法的稳定性、误差估计和超收敛性，针对性地对存在的问题进行探讨和解决。而数值实验则可以用来验证我们理论分析的正确性，并探究DGM方法在不同应用场景下的性能。
四、预期结果
1.简要总结DGM方法现有稳定性、误差估计和超收敛性的研究进展。
2.探究适合DGM方法的稳定性条件，并通过数值实验验证其正确性。
3.基于误差源进行系统分析，提出适合DGM方法的误差估计方法，并在典型模型问题上进行误差估计数值实验。
4.探究DGM方法的超收敛性质，研究如何改进传统方法实现更高的计算精度。
五、论文安排
本篇论文的章节安排如下：
第一章：绪论
第二章：DGM方法及其原理
第三章：DGM方法的稳定性分析
第四章：DGM方法的误差估计
第五章：DGM方法的超收敛性分析
第六章：结论
六、参考文献
[1]何博,祝波,缪志成.间断有限元方法:算法研究及应用[M].清华大学出版社,2010.
[2]刘来平,朱国荣,彭良林.间断有限元法[M].科学出版社,2014.
[3]Cockburn,B.andHouston,P.A.AnerrorestimatorandadaptivestrategyfortheinteriorpenaltydiscontinuousGalerkinmethod[J].JournalofScientificComputing,2000,15:173-195.
[4]Gardner,C.andHummel,R.Superconvergenceprinciplesforfiniteelementmethods[J].NumerischeMathematik,1974,22(1):49-55.