专题06.数列（解析版）.doc

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第六章数列
一．基础题组
1.【2005江苏，理3】在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（）
（A）33（B）72（C）84（D）189
【答案】C.

2.【2009江苏，理14】设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=▲.[来源:学。科。网]
【答案】-9．
3.【2009江苏，理17】设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
（1）求数列的通项公式及前项和；w.w.w.zxxk.c.o.m
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项
【答案】（1）（2）．
(2)（方法一）=,设，
则=,所以为8的约数

（方法二）因为为数列中的项，
故为整数，又由（1）知：为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有.
4.【2010江苏，理8】函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是__________．
【答案】21．
5.【2011江苏，理13】设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值为
【答案】．

6.【2013江苏，理14】在正项等比数列{an}中，，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为__________．
【答案】12．
7.【2014江苏，理7】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是.
【答案】4．
【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．
二．能力题组
1.【2008江苏，理19】
（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当时，求的数值；
（ii）求的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
【答案】（1）（i）或,（ii）．（2）详见解析.

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得（*）
由知，与同时为0或同时不为0
当与同时为0时，有与题设矛盾。
故与同时不为0，所以由（*）得
因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。
于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n项数列1，，，……，满足要求.
2.【2010江苏，理19】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式(用n，d表示)；
(2)设c为实数，对满足m＋n＝3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm＋Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为.
【答案】(1)an＝(2n－1)d2．(2)详见解析.

3.【2013江苏，理19】设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记，n∈N*，其中c为实数．
(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；
(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.
【答案】(1)详见解析．(2)详见解析．

三．拔高题组
1.【2005江苏，理23】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
其中A,B为常数.
（Ⅰ）求A与B的值；
（Ⅱ）证明数列{an}为等差数列；[来源:Z,xx,k.Com]
（Ⅲ）证明不等式对任何正整数m、n都成立.
【答案】（Ⅰ）A=-20，B=-8．（Ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.

方法2.
由已知，S1=a1=1,
又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8,
所以数列是惟一确定的。
设bn=5n-4,则数列为等差数列，前n项和Tn=
于是(5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)[来源:学科网]
由惟一性得bn=a,即数列为等差数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=1+5(n-1)=5n-4.
要证了
只要证5amn>1+aman+2
因为 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,
故只要证5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2
因为[来源:学,科,网]
=20m+20n-37,
所以命题得证.
2.【2006江苏，理21】设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），
证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）
【答案】详见解析.

①-②得cn–cn+2=