《3.2.1几个常用的函数的导数》同步练习2.doc

《几个常用函数的导数》同步练习
1．y＝eq\r(3,x2)的导数是()
A．3x2 B．eq\f(1,3)x2
C．－eq\f(1,2) D．eq\f(2,3\r(3,x))
解析：选D．∵y＝eq\r(3,x2)＝xeq\f(2,3)，∴y′＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3\r(3,x)).
2．函数y＝sin(x＋eq\f(π,2))的导数为()
A．y′＝－cos(x＋eq\f(π,2)) B．y′＝cosx－sinx
C．y′＝－sinx D．y′＝cosx
解析：选C．∵y＝sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx，
∴y′＝－sinx.
3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为()
A．1 B．2
C．e D．eq\f(1,e)
解析：选A.由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.
4．过曲线y＝eq\f(1,x)上一点P的切线的斜率为－4，则P的坐标为()
A．(eq\f(1,2)，2) B．(eq\f(1,2)，2)或(－eq\f(1,2)，－2)
C．(－eq\f(1,2)，－2) D．(eq\f(1,2)，－2)
解析：选B.因为y′＝－eq\f(1,x2)，令－eq\f(1,x2)＝－4，得x＝±eq\f(1,2)，P的坐标为(eq\f(1,2)，2)或(－eq\f(1,2)，－2)，故选B.
5．(2014·黄冈高二检测)若曲线y＝x－eq\f(1,2)在点(a，a－eq\f(1,2))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()
A．64 B．32
C．16 D．8
解析：选A.∵y′＝－eq\f(1,2)·x－eq\f(3,2)，
∴y′|x＝a＝－eq\f(1,2)·a－eq\f(3,2)，
∴在点(a，a－eq\f(1,2))处的切线方程为y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)·a－eq\f(3,2)·(x－a)．令x＝0，得y＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)，令y＝0，得x＝3a，
∴eq\f(1,2)×3a×eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝18，解得a＝64.
6．曲线y＝lnx在点M(e，1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析：∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，
∴y′|x＝e＝eq\f(1,e).
∴切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，
即x－ey＝0.
答案：eq\f(1,e)x－ey＝0
7．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝________.
解析：f(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(x)＝－eq\f(1,x2)，
f′(a)－f(a)＝－eq\f(1,a2)－eq\f(1,a)＝－2.
即2a2－a－1＝0，
解得a＝1或a＝－eq\f(1,2).
答案：1或－eq\f(1,2)
8．(2014·忻州高二检测)与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝eq\r(x)相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，
∴eq\f(1,2\r(x))＝2，解得x＝eq\f(1,16).
∴切点的坐标为(eq\f(1,16)，eq\f(1,4))．
故切线方程为y－eq\f(1,4)＝2(x－eq\f(1,16))．
即16x－8y＋1＝0.
答案：16x－8y＋1＝0
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xeq\r(x)；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝eq\r(5,x3)；
(4)y＝log2x2－log2x；
(5)y＝－2sineq\f(x,2)(1－2cos2eq\f(x,4))．
解：(1)y′＝(xeq\r(x))′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)xeq\f(3,2)－1＝eq\f(3,2)eq\r(x).
(2)y′＝(eq\f(1,x4))′＝(x－4)′＝－4x－4－1
＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).
(3)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\f(3,5))′＝eq\f(3,5)x