亚纯函数与其导数分担小函数及正规族问题的研究的任务书.docx

亚纯函数与其导数分担小函数及正规族问题的研究的任务书
任务书
一、研究背景：
亚纯函数是复分析中重要的一类函数，它是指可解析开集除去孤立奇点外的函数。如果将亚纯函数在孤立奇点处展开成Laurent级数，那么它相当于在一些点上与一个多项式有关。因此，亚纯函数的分析也涉及到多项式函数和整函数的研究。
亚纯函数的特点是在奇点处具有不可解析性，由此形成了亚纯函数的分支和奇点问题，这也是亚纯函数研究中需要解决的问题之一。
而亚纯函数的导数也具有一定的特殊性质，通常来说，在一个开集上的亚纯函数的导数仍然是亚纯函数，因此导数的分析与亚纯函数的分析紧密相关。
此外，小函数和正规族也是亚纯函数分析中的重要概念，它们对于研究亚纯函数的性质和应用都具有重要意义。
因此，本研究将重点探讨亚纯函数与其导数的分析性质、小函数和正规族的研究问题。
二、研究目标：
1.研究亚纯函数的解析性质和奇点，了解分支和奇点的特殊性质，深入分析奇点周围的局部解析性质。
2.研究亚纯函数的导数在开集上的性质，探讨其与亚纯函数的关系，以及导数与奇点的关系。
3.研究小函数的概念和性质，了解其在分析中的应用，以及小函数在亚纯函数分析中的定理。
4.研究正规族的概念和性质，了解正规族在复变函数中的重要性质和应用，探讨正规族和小函数的关系。
5.通过分析和证明相关定理，提高研究者在复变函数理论中的解决问题的能力和水平。
三、研究方法：
本研究采用文献资料法和数学证明法相结合的方法，对亚纯函数与其导数分担小函数及正规族问题进行理论分析和证明。
首先，通过文献阅读和收集资料，了解亚纯函数、导数、分支、奇点、小函数和正规族的基本理论和概念，掌握相关定理和证明方法。
其次，通过数学证明法，对相关定理进行证明，分析其证明思路和方法，理解和掌握基本思想和技巧，提高研究者的证明能力。
最后，将理论与实践相结合，通过应用例题进一步巩固和加深研究者对于亚纯函数、导数、小函数与正规族的理解和掌握。
四、研究内容：
本研究将围绕以下主要内容展开：
1.亚纯函数的基本概念和性质，分析亚纯函数的解析区域和奇点问题。
2.亚纯函数的导数与亚纯函数的关系，研究导数在开集上的性质，深入探讨导数与奇点的关系。
3.小函数的概念和性质，研究小函数在亚纯函数分析中的定理及其应用。
4.正规族的概念和性质，研究正规族在复变函数中的重要性质和应用，探讨正规族和小函数的关系。
五、研究意义：
本研究对于深入理解亚纯函数和相关概念的性质和应用具有重要意义，有助于提高研究者的数学分析能力和思维水平。同时，研究成果可为复变函数和图形学等领域提供理论和实用参考，推动相关研究的深入发展。