海淀二模数学理科.docx

海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科） 2018.5
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知全集集合，则=
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数在复平面上对应的点为，则
（A）是实数 （B）是纯虚数
（C）是实数 （D）是纯虚数
（3）已知，则
（A） （B）
（C） （D）
（4）若直线是圆的一条对称轴，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）关于函数，下列说法错误的是
（A）是奇函数
（B）不是的极值点
（C）在上有且仅有个零点
（D）的值域是
（7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是
（A）求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和
（B）求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和
（C）求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和
（D）求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和
（8）已知集合，集合满足
①每个集合都恰有个元素
②．
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则的值不可能为（ ）．
（A） （B） （C） （D）

第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）极坐标系中，点到直线的距离为________.
（10）在的二项展开式中，的系数为.
（11）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则，.
（12）在中，，则.
（13）能够使得命题“曲线上存在四个点，，，满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为.
（14）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为_________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题13分）
如图，已知函数在一个周期内的图象经过，，三点．
（Ⅰ）写出，，的值；
（Ⅱ）若，且，求的值．

16.（本小题共13分）
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：
1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929087909290第二轮测试成绩90909088888796928992(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率；
(Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与，与的大小.（只需写出结论）

17.（本小题共14分）
如图，在三棱柱中，，⊥平面，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.

18.（本小题共14分）
已知椭圆：，为右焦点，圆：，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在两侧.
（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率;
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.

19. （本小题共13分）
已知函数（）
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当时，设.求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.

20. （本小题共13分）
如果数列满足“对任意正整数，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为.
（Ⅰ）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（Ⅱ）若数列具有“性质P”，求证：且；
（Ⅲ）若数列具有“性质P”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准
数学（理科） 2018.5

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
12345678BCDBACCA
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）1 （10）10
（11）1； （12）
（13）答案不唯一，或的任意实数 （14）

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题13分）
解：（Ⅰ），，． 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
因为，所以． 8分
因为，所以