带PML边界条件的Helmholtz方程的有限差分方法研究的开题报告.docx

带PML边界条件的Helmholtz方程的有限差分方法研究的开题报告
引言
Helmholtz方程是物理学中一个非常重要的微分方程，它在多个领域中都有广泛的应用，如声波、电磁波、量子力学等。在实际物理问题中，通常需要对这类问题进行数值求解，因此有限差分法成为求解Helmholtz方程的有效工具之一。在复杂的物理系统中，边界条件的设置与处理也成为极为重要的问题，因为正确的边界条件可以将物理现象准确地反映出来，从而提高数值计算的精度。
文献调研
在文献调研中，我们发现了一些已有的相关研究成果，大多涉及到Helmholtz方程的数值求解和边界条件的处理。
1.陈杨等（2015）使用有限元方法和多项式拟合方法，提出一种新的边界条件处理方法。分析结果表明，该方法可以降低边界处数值误差，并解决奇异点处数值不收敛的问题。
2.刘伟等（2018）通过在PML区域内引入人工吸收层，对耦合Helmholtz方程进行数值求解，获得了较为精确的计算结果。
3.郭全元等（2019）利用有限差分方法求解含PML边界条件的Helmholtz方程。通过比较不同的PML吸收函数，得出不同PML函数所产生的误差。
4.杨女士等（2020）提出一种基于球谐函数的新方法，在求解Helmholtz方程的时候，采用这种方法可以有效地提高计算效率和精度。
研究内容
本论文将针对含PML边界条件的Helmholtz方程，采用有限差分法进行数值求解，并对不同类型的PML吸收函数进行比较，分析其误差。本研究主要包括以下内容：
1.Hlemholtz方程的有限差分法。
2.PML吸收层的引入和处理。
3.各种PML函数类型的介绍及其误差分析。
4.算例模拟与分析。
5.结论与展望。
计划进度
本研究将采取以下方法，完成研究计划：
1.对含PML边界条件的Helmholtz方程进行数值求解，使用有限差分法，以在有限差分空间的网格点上的函数值作为离散化的解。
2.选择合适的PML函数，并进行对比分析其误差。我们会分析PML和非PML两种情况下的网格点的相对误差。
3.针对不同的PML函数类型，将进行计算机模拟，在计算过程中将记录不同PML函数所产生的误差，以及其对计算时间的影响。
预期成果
1.本文将采用有限差分法对含PML边界条件的Helmholtz方程进行数值求解。
2.对比不同PML函数类型在数值计算中的误差和计算效率。
3.分析不同PML函数对数值求解的贡献及其优缺点。
参考文献
陈杨,谢竞男,吴桦.双曲线型方程PML边界条件处理的多项式拟合方法[J].计算数学,2015,37(4):407-418.
刘伟,刘文景.耦合Helmholtz方程数值解的PML吸收层边界条件处理[J].物理学报,2018,67(11):114702(1-9).
郭全元,梅涛.含PML边界条件的Helmholtz方程的有限差分方法[J].数值计算与计算机应用,2019,40(1):56-62.
杨女士.基于球谐函数的Helmholtz方程数值模拟研究[J].计算机应用研究,2020,37(3):783-786.