圆锥曲线定点定直线定值问题.doc

定点、定直线、定值专题
1、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为.
(Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ)若直线与椭圆相交于，两点(不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点，并求出该定点的坐标.
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
,
(IＩ）设,由得,
，.

以ＡB为直径的圆过椭圆的右顶点，,
（最好是用向量点乘来)，
,
,解得,且满足．
当时,，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知,直线过定点，定点坐标为
２、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时,点S是否恒在一条定直线上？若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论；若不是，请说明理由。
解法一：（Ⅰ)设椭圆的方程为。 …………………ﻩ １分
∵,,∴，。 ………………ﻩﻩ4分
∴椭圆的方程为。ﻩ………………………………………ﻩ５分
（Ⅱ)取得,直线的方程是
直线的方程是交点为ﻩ…………7分，
若，由对称性可知交点为
若点在同一条直线上,则直线只能为。…………………８分
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即,
记，则。…………ﻩ 9分
设与交于点由得
设与交于点由得………ﻩ10

,……12分
∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。 13分
解法二:(Ⅱ)取得,直线的方程是直线的方程是交点为 ………………………………………… ７分
取得,直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上,则直线只能为。 ……………8分
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上,由得即，记,则。………………9分
的方程是的方程是消去得…ﻩ①以下用分析法证明时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证……………… ②∵∴②式恒成立。这说明,当变化时,点恒在定直线上。
解法三:(Ⅱ)由得即。
记,则。…………… 6分
的方程是的方程是 ……ﻩ ７分
由得 ………………… ﻩ9分
即
ﻩ……………………………… １2分
这说明，当变化时,点恒在定直线上。……………… ﻩ13分

３、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值
为,离心率为﹒
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过点作直线交于、两点，试问:在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在,求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒
解：(I)设椭圆E的方程为,由已知得： 。。。。。2分
椭圆E的方程为。。。。ﻩ３分
（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点,又设,则:

。。。。。ﻩ5分
①当直线的斜率存在时,设直线的方程为:，则
由得
ﻩ7分

所以ﻩ9分
对于任意的值，为定值,所以,得，
所以;ﻩ1１分
②当直线的斜率不存在时，直线
由得
综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒ 13分
法二:假设存在点,又设则：
＝…. ５分
①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为,
由得 7分

ﻩ9分
设则
１1分
②当直线的斜率为０时，直线,由得:

综上述①②知，符合条件的点存在,其坐标为 。。。。1３分

4、已知椭圆的焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于、两点。
（I）求椭圆的标准方程;
(Ⅱ）设点是线段上的一个动点,且,求的取值范围;
(Ⅲ)设点是点关于轴的对称点,在轴上是否存在一个定点,使得、、
三点共线?若存在,求出定点的坐标，若不存在,请说明理由。
解法一:（I）设椭圆方程为，由题意知
故椭圆方程为
(Ⅱ）由(I）得,所以，设的方程为()
代入,得设
则,

由，
当时，有成立。
(Ⅲ)在轴上存在定点,使得、、三点共线。依题意知,直线BC的方程为，令，则
的方程为、在直线上，

在轴上存在定点,使得三点共线。
解法二:（Ⅱ)由（Ｉ）得,所以。设的方程为
代入，得设则

当时，有成立。
（Ⅲ）在轴上存在定点,使得、、三点共线。
设存在使得、、三点共线,则,
,
即
，存在,使得三点共线。
6、(福建卷)已知椭圆的左焦点为Ｆ,O为坐标原点。
(Ⅰ)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
(Ⅱ）设过点Ｆ且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点,线段
ＡB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）圆过点O、F，M在直线上。
ﻩ设则圆半径
ﻩ由得 解得
所求圆的方程为
（ＩＩ）设直线AB的方程为
代入整理得
ﻩ直线AＢ过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。
ﻩ记中点ﻩ则
的垂