例说探索开放性问题的解题策略.doc

例谈探索开放性问题的解题策略
王玉香
兰州三十二中邮编730000
【内容摘要】《数学课程标准》明确指出：“自主探索、动手实践、合作交流等是学生学习数学的重要方式，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造。”因此，在数学教学中，以数学开放题为载体，通过为学生营造开放性、发展性、层次性等特点的问题情境，鼓励学生尝试探索，多角度激活他们的创造性思维，产生尽可能多、尽可能新、尽可能独特的解题方法，以利于培养学生的创新意识、创新能力和创新精神。
【关健词】开放性问题解题策略
开放性问题是近年来数学命题的一个新方向,是一种具有开放性和发散性的问题，由于它具有与传统封闭型题不同的特点，因此在数学教学中有其特定功能。数学开放题教学通过营造开放性、发展性、层次性等特点的问题情境，为学生提供了更多的交流与合作的机会，为充分发挥学生的主体作用创造了条件；数学开放题的教学过程是学生主动构建、积极参与的过程，有利于培养学生数学意识，让学生真正学会“数学地思维”；数学开放题的教学过程也是学生探索和创造的过程，有利于培养学生的探索开拓精神和创造能力。本文就数学开放题的几种常见类型，例说探索开放性问题的解题策略
（1）条件追溯型：这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．
例1．(2006湖南高考)若函数f(x)=asin(x+)+bsin(x-)（ab≠0）是偶函数,则有序数对（a,b）可以是.（注：只要填满足a+b=0的一组数字即可）（写出你认为正确的一组数字即可）
解析：∵函数f(x)=asin(x+)+bsin(x-)是偶函数，观察易得x+与x-是两个互余的角.∴当|a|=|b|时易变形为一个角的一个三角函数的形式.
不妨令a=1,b=-1,故f(x)=sin(x+)-sin(x-)
=[]=cosx.
故取a=1,b=-1
点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．
（2）结论探索型：这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．
例2．(2007福建高考)中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意aA，都有a～a；
（2）对称性：对于a、bA，若a～b，则有b～a；
（3）传递性：对于a、b、cA，若a～b，b～c,则有a～c，
则称“～”是集合A的一个等价关系，例如“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系.
解析:令A为所有三角形构成的集合,定义:两个三角形全等为关系“～”则其为等价关系.
令B为所有正方形构成的集合,定义:B中两个元素相似为关系“～”则其为等价关系.
点评：本题要求正确理解新概念“～”的意义．如何能够跳出题海，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．
（3）条件重组型：这类问题的基本特征是：改变已知问题的条件，探讨结论相应地会发生什么变化，或者改变已知问题的结论，探讨条件相应地会发生什么变化；
例3．（99年全国高考）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α，以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__．
解析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，
分四种情况逐一验证．依题意可得以下四个命题：
(1)m⊥n，α⊥β，n⊥β⇒m⊥α；
(2)m⊥n,α⊥β，m⊥α⇒n⊥β；
(3)m⊥n，n⊥β，m⊥α⇒α⊥β；
(4)α⊥β,n⊥β，m⊥α⇒m⊥n．
不难发现，命题(3)(4)为真命题，而命题(1)(2)为假命题．故填上命题(3)或(4)．
点评：本题的条件和结论都不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的．
（4）存在判断型：这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、