统计量与抽样分布.pptx

会计学【例】设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X～N(，2)，其中、2为未知参数，则
X1，min{X1，X2，…，Xn}
均为统计量，
但诸如

等均不是统计量，因它含有未知参数或．
下面介绍几种常用的统计量

设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，x1，x2，...，xn为样本观测值，
(1)样本均值
常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测值为(2)样本方差

(3)样本标准差

样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量.
观测值分别为(4)样本k阶原点矩（简称样本k阶矩）
，(k=1，2，…)
(5)样本k阶中心矩
，(k=2，3，…)
显然

Ak和Bk的观测值分别记为6.3统计量与抽样分布一.2分布
定义6.3设X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随机变量

服从自由度为n的2分布，记为2～2(n)．
此处自由度指的是2中包含独立变量的个数．
2(n)的概率密度为

其中()称为伽马函数，2分布概率密度

图6-12(n)分布的概率密度曲线
可以看出，随着n的增大，的图形趋于“平缓”，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动．2分布具有下面性质：
(1)(可加性)设是两个相互独立的随机变量，且
(2)设
证明(1)由2分布的定义易得证明．
(2)因为相互独立、同分布于
N(0，1)的随机变量X1，X2，…，Xn，使
则由于Xi独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为3，可得

二.t分布
定义6.4设X～N(0，1)，Y～2(n)，X与Y独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，又称为学生氏分布(Studentdistribution)，
记为T～t(n)．
t(n)的概率密度为

图6-3t分布的概率密度曲线

图6-3t分布的概率密度曲线

显然t分布的概率密度是x的偶函数，图6-3描绘了n=1，3，7时t(n)的概率密度曲线．作为比较，还描绘了N(0，1)的概率密度曲线．
可看出，随着n的增大，t(n)的概率密度曲线与
N(0，1)的概率密度曲线越来
越接近．
可以证明t分布具有下面性质：

即当n趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布N(0,1)．
一般地，若n>45，就可认为t(n)基本与N(0，1)相差无几了．三.F分布
定义6.5设X～2(n1)，Y～2(n2)，且X与Y独立，称随机变量服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F～F(n1，n2)．
可以证明的概率密度函数为

6.3.3统计中的常用分布分位数
设X为一随机变量，我们知道对于给定的实数x，P{X>x}是事件{X>x}的概率．在统计中，我们常常需要利用给定事件{X>x}的概率，由此确定的x是一个临界点,称为分位数(点),有如下定义：
定义设X为随机变量，若对给定的(0，1)，存在x满足P{X>x}=，则称x为X的上分位数(点)．若X具有密度f(x)，
P{X>x}=说明分位数x
右边的一块阴影面积为，
即

容易看出，X的上分位数x是
关于的减函数，即增大时x减少.
下面给出几种常用分布的上分位数的求法：
1.设ZN(0，1)，记N(0，1)的上分位数为z，即有P{Z>z}=.
由于(z)=P{Zz}=1–P{Zz}=1–，
由标准正态分布函数表（附表3,P185）反过来查，即可以得到z的值.
为使用方便，表6-1列出了标准正态分布的几个常用分位数z的值．由N(0，1)的概率密度的对称性（见图6-6）可知

所以z1-=–z．

图6-6z1-与z2.设2～2(n)，记2(n)的上分位数为2(n)，即有P{2>2(n)}=.
附表5(p189)中给出了时2(n)的值，当n>45时，由2(n)的渐近性质，有
3.设T～t(n)，记t(n)的上分位数为t(n)，即有
P{T>t(n)}=；
由t(n)的概率密度的对称性
t1-(n)=–t(n)

图6-7t1-(n)与t(n)
附表6(p192)中给出了t(n)的值，当n>45时，由于t(n)近似N(0，1),所以t(n)z4.设F～F(n1，n2)，记F(n1，n2)的上分位数为
F(n1，n2)，即有P{F>F(n1，n2)}=．
附表7(p194)中给出部分F(n1，n2)的值.
另外，由于F～F(n1,n2)时,1/F～F(n2,n1)，
所以

故【例】求下列分位数：
(1)z0.025；20.05(20)；t0.1(25)；F0.05(10，15)；
(2)t0.97