递推辨识：子空间方法与Wiener系统的任务书.docx

递推辨识：子空间方法与Wiener系统的任务书
一、引言
在信号处理、控制系统和模式识别等问题中，许多重要的任务可以被视为对递推序列进行建模和辨识的问题。递推序列包括时间序列、数字滤波器的输出以及状态空间模型等等。为了找出序列背后的潜在动力学、预测其未来行为、估计它们的参数以及控制它们的输出，需要对递推序列进行模型辨识。本文主要介绍两种常见的递推序列模型辨识方法：子空间方法和Wiener系统，包括它们的基本概念、原理、步骤和应用场景。
二、子空间方法
子空间方法是一种基于数据投影到子空间中进行辨识的方法，它包括基于奇异值分解（SVD）的方法和基于极小二乘法（LMS）的方法。
1.奇异值分解子空间方法
奇异值分解（SVD）是一种常见的矩阵分解方法，可以将一个矩阵表示为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为矩阵A的奇异值。在递推序列模型辨识中，可以将一个长度为N的序列看作一个N行的矩阵，然后对其进行奇异值分解，目的是从原始数据中提取出主要的信号成分和噪声成分，进而对它们进行建模。
具体步骤如下：
（1）将N个序列样本排成一个矩阵X，即X=[x(1),x(2),...,x(N)]。
（2）对X进行SVD分解，即X=UΣV^T。
（3）根据矩阵的奇异值，可以找到构成信号子空间的前r个特征向量和构成噪声子空间的后(N-r)个特征向量，其中r为信号成分的秩。
（4）将原始数据投影到信号子空间中，即Y=U_r^TX，其中U_r是U中由前r个特征向量构成的矩阵。
（5）对Y进行模型辨识，例如使用AR模型或者MA模型对其进行建模。
2.极小二乘子空间方法
与SVD子空间方法不同，极小二乘（LMS）子空间方法基于一组已知的滤波器，将原始数据投影到对应的子空间中，进而对滤波器的系数进行辨识。该方法主要用于有限长的序列模型辨识。
具体步骤如下：
（1）假设有M个已知的滤波器h(1),h(2),...,h(M)。
（2）将原始数据以及滤波器放在一个M+1维的空间中，即y(k)=[x(k),y(k-1),...,y(k-M)]^T。
（3）在该空间中找到M个正交的基向量，即b(1),b(2),...,b(M)，使得基向量的范围覆盖了所有可能的y(k)值。基向量的计算可以使用LMS算法。
（4）把原始数据投影到基向量的子空间中，即z(k)=[b(1)^Ty(k),b(2)^Ty(k),...,b(M)^Ty(k)]^T。
（5）使用LMS算法对滤波器的系数进行辨识。
三、Wiener系统
Wiener系统是一种常见的线性、时不变、有限维度系统模型。它假设输入序列与噪声序列之间存在一种特定的统计关系，使得在已知输入序列和噪声序列的条件下，可以推断出输出序列。
具体步骤如下：
（1）假设输入序列x(k)和噪声序列v(k)是零均值、非相关、高斯分布的信号，输出序列y(k)是由它们经过Wiener系统滤波而得到的，即y(k)=w^Tz(k)+e(k)，其中w是Wiener滤波器的系数，z(k)是输入和噪声的联合统计量，e(k)是输出的噪声项。
（2）通过对输入序列x(k)和输出序列y(k)的样本数据进行采集和观测，可以计算出z(k)和w。
（3）使用w和z(k)建立Wiener系统模型，预测未来的输出序列。
Wiener系统具有广泛的应用场景，例如信号预测、信号滤波、数字通信、自适应控制等。
四、总结
子空间方法和Wiener系统是常用的递推序列模型辨识方法，它们都利用了输入、输出和噪声之间的关系来推断系统的动力学特性和参数。子空间方法可以将原始数据投影到信号子空间或噪声子空间中进行模型辨识，适用于长序列或无限长序列；而Wiener系统假设输入和噪声的统计特性已知，可以精确地估计输出序列，适用于短序列。这两种方法都有很好的应用效果，在实际工程中的选择应根据具体问题和数据特性来确定。