2011全国大学生数学建模竞赛B题参考答案.pdf

一问题的重述

110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能
够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了
有力的保障。
现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐
标分别为：（5112，4806），（9126，4266），（7434，1332）。该区域内共有307个道路
交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场
均在下图的道路上。
该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车
的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要
尽量满足以下要求：
D1.警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在
两分钟之内。
D2.使巡逻效果更显著；
D3.警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。
现在我们需要解决以下几个问题：
一.若要求满足D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻？
二.请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。
三．请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。
四.在第三问的基础上，再考虑D3条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。
五．如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案，使D1、D2尽量得到满足？
六.若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h，回答问题三。
七.你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。

二问题分析

本题为城区道路网络中警车配置及巡逻问题。在进行警车配置时，首先要考虑警车
在接警后在规定时间内赶到现场的比例，在此条件下，以车数最少为目标，建模、求解；
在制定巡逻方案时，要考虑巡逻的效果及隐蔽性问题。
问题一只要求满足D1，求最少的警车配置数，可以认为警车是不动的，在三分钟
或两分钟内它能到达的区域就是它的覆盖范围。据此，在满足所有街道的覆盖率不低于
90%的条件下，寻找最优解。
问题二要评价巡逻效果，有两个方面需要考虑：一是巡逻的全面性，即经过一段时
间后警车走过的街道数占总街道数的比例；二是巡逻的不均匀性，即经过一段时间后警
车经过每一条街道的次数相差不大，用方差来衡量。
问题三是在满足D1的条件上尽量满足问题二所给的指标，并给出评价方案的指标。
首先找到一组满足D1的各警车位置，然后在和各警车位置相连的点中随机寻找一个点，
判断新的点是否满足D1，如果满足则警车行驶到该点，否则重新寻找，直到满足为止。
一段时间后统计所有车走过的点数及每个点被走过的次数，用问题二给出的两个指标进
行评价。综合两个指标，可判断此路径的好坏，重复这个过程，直到综合评价指标达到
一个满意的值为止。
问题四增加了隐蔽性要求，首先给出评价隐蔽性的指标，隐蔽性可用路线的随机性
来评价，将它加入到问题三的模型中去进行求解。
问题五限制警车数量为10，要综合考虑D1、D2，先分配这10辆车使道路的覆盖
率最高，然后按照问题三的步骤进行求解，其中每一步对D1的判断只需使道路的覆盖
率尽量高即可。
问题六同问题三，只需将车速改为50km/h即可。

三模型的假设

1.警车都在路上巡逻，巡警去处理案件的时间不考虑；
2.所有事发现场都在道路上，案件在道路上任一点是等概率发生的；
3.警车初始停靠点是随机的，但尽量让它们分散分布，一辆警车管辖一个分区；
4.假定各个划分区域内，较短时间内，最多会发生一个案件；
5.假设区域内的每条道路都是双行线，不考虑转弯对结果造成的影响；
6.如果重点部位不在道路上的，假设这些重点部位在离它们最近的道路上；
7.图中水域对巡逻方案没有影响。

四符号说明

m表示警车数目
d表示警车初始停靠点到各道路的最短距离
L表示整个区域的总道路长度
l表示不能在3分钟内到达的区域的道路的长度
k表示非重点部位的警车在3分钟内不能到达现场的比例
r表示三分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是
n表示整个区域总的离散点个数
n表示第i区内的节点个数
i

f表示区内调整函数
1
t表示模拟退火的时间，表征温度值
f表示区间调整函数
2
r表示全面性指标

e表示不均匀性指标

h表示综合评价指标

s表示第i辆车经过每条道路的次数
i

s表示整个区域每条道路经过的平均次数

2
五模型的建立与算法的设计

5.1满足D1时，该区所需要配置的最少警车数目和巡逻方案
5.1.1满足D1条件时，区域最少警车的规律
题目要求警车的配置和巡逻方案满足D1要求时，整个区域所需要配置的警车数目
最少。由假设可知警车都在道路上，且所有事发现场也都在道路上，但区域内总的道路
长度是个定值的；警车在接警后赶到事发现场有时间限制和概率限制：三