第1章整数的可除性.doc

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第一章整数的可除性
整除
整除是数论中的基本概念，在这一部分中，我们从这个概念出发，引进带余数除法及辗
转相除法，然后利用这两个工具，建立最大公因数与最小公倍数的理论，进一步证明极具重
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第一章整数的可除性整除整除是数论中的基本概念，在这一部分中，我们从这个概念出发，引进带余数除法及辗转相除法，然后利用这两个工具，建立最大公因数与最小公倍数的理论，进一步证明极具重要性的算术基本定理。最后介绍两个重要的函数[]与{},并用[]来说明如何把!表成质数幂的乘积。整除的定义设，是任意两个整数，其中≠０，如果存在一个整数使得等式=(1)成立，我们就称为整除或被整除,记做|，此时我们把叫做的因数，把叫做的倍数，如果（1）里的整数不存在，就说不能整除或不被整除，记做。例如＝6，＝3时，有q＝2使＝，故3|6；又如＝4，＝3时，不存在整数使＝bq，故34。整除的性质定理1若是的倍数，是的倍数，则是的倍数。即：|，||。证：由|，|及整除的定义知存在整数使得。因此，但是一个整数，故ｃ|。定理2若，都是的倍数，则也是的倍数。证，都是的倍数的意义就是存在两个整数，使得所以，但为整数，故是的倍数。用类似方法可以证明下面的定理3，请同学们自己给出证明。定理3若都是的倍数，是任意个整数，则是的倍数。例证明3|(+1)(2+1)，其中是任何整数。证因为(+1)(2+1)=(+1)[(+2)+(-1)]=(+1)(+2)+(-1)(+1)，而三个连续整数的积可被3整除，于是3|(+1)(+2)，3|(-1)(+1)。所以3|(+1)(2+1)。

第一章整数的可除性带余数除法任给两个整数，它们之间不一定有整除关系，一般有下面的带余数除法。定理若，是两个整数，其中>0，则存在两个整数及，使得（2）成立，而且及是唯一的。证作整数序列…，－3，－2，－，0，，2，3，…则必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数使得成立。令－＝，则为整数，且＝＋，而。设是满足（2）的另两个整数，则，所以，于是，故。由于都是小于的正整数或零，故。如果，则，这是一个矛盾。因此，从而。整数的很多性质都可以从这一定理引导出来，我们这一章的最主要部分就是建立在这一定理的基础上的。定义（2）中的叫做被除所得的不完全商，叫做被除所得到的余数。例设＝15，则当＝255时＝17＋0，＝17，＝0<15；而当＝417时，＝27＋12，＝27，＝12<15；当＝－81时，＝－6＋9，＝－6，＝9<15。注在定理中我们要求>0，实际上只需≠0即可，即有下面的推论若，是两个整数，其中，则存在两个整数及使得＝＋，成立，而且及是唯一的。

第一章整数的可除性最大公因数利用前面的带余数除法，我们可以着手研究整数的最大公因数及实际求法，处理整个问题的方法就是用所谓的辗转相除法。最大公因数的定义设是(≥2)个整数，若整数是它们之中每一个的因数，那么就叫做的一个公因数。