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复数复习课

1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若_____，则a＋bi为实数；若__________，则a＋bi为虚数；若_____________，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________________(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_______________________；
④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件
3．z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9<0.
[试一试]
1．(2014·惠州调研)i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于_________
2．(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.

1．把握复数的运算技巧
(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．
(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．
2．掌握复数代数运算中常用的几个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋.
[练一练]
(2013·安徽联考)已知i是虚数单位，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))2013在复平面内对应的点位于_______

eq\a\vs4\al(对应学生用书,P72)

考点一复数的有关概念1.(2014·湖北八校联考)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的_______________________条件
2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a＋bi＝eq\f(5,1＋2i)(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝____
3．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为_____
4．(2013·洛阳统考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·eq\o(z,\s\up6(－))|＝_________
[类题通法]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

考点二复数的几何意义
[典例](1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是_______
(2)(2014·郑州质量预测)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝eq\f(z1,z2)的共轭复数在复平面内的对应点位于第_____象限
[类题通法]
对复数几