2024学年高三上学期9月诊断测试数学试题(原卷版).pdf

2023江苏省南通市如皋市九月诊断

数学试题

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试

卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.

M={x∣x2−2mx−3m2≤0},N={x∣x2+mx−2m2≤0}
1.已知集合，定义b−a叫做集合
{x∣a≤x≤b}
的长度，若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为（）

A.3B.4C.5D.10

2.设z=m+ni是方程az4+ibz3+cz2+idz+e=0的一个复数根，这里a,b,c,d,e,m,n∈R.则下列各数

一定是方程的根的是（）.

A.m−niB.−m+niC.n+miD.1−m+ni

3.设a，b，c为正数，且a2+b2+c2=1，则a(a+b+c)的最大值为（）

3+12+132
A.B.C.D.
2222

π5π5π
4.已知=f(x)sin(ωx+φ)(ω>0)满足f()=1，fπ=0且f(x)在,上单调，则ω的最大
4346

值为（）
1218630
A.B.C.D.
7171717
5.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是（）
30251510
A.B.C.D.
91919191

6.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下

列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.①B.②C.①②D.①②③

7.已知数列{a}满足a+2a+⋅⋅⋅+2n−1a=n⋅2n，记数列{a−tn}的前n项和为S，若S≤S对任意
n12nnnn10

的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（）

1211121111101110
A.,B.,C.,D.,
11101110109109

e2
8.已知a=22−2,b=,c=ln2，则（）
7

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知正四面体P−ABC的棱长为2，下列说法正确的是（）

A.正四面体P−ABC的外接球表面积为6π

B.正四面体P−ABC内任意一点到四个面的距离之和为定值
1
C.正四面体P−ABC的相邻两个面所成二面角的正弦值为
3

D.正四面体Q−MNG在正四面体P−ABC的内部，且可以任意转动，则正四面体Q−MNG的体积最

22
大值为
81

10.历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有n(n≥2)封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他
把每封信都投错了信箱，投错的方法数为a.例如两封信都投错有a=1种方法，三封信都投错有a=2种
n23

方法，通过推理可得：a=n(a+a)(n≥3).高等数学给出了泰勒公式：
n+1nn−1

x2x3xn
ex=1+x+++++，则下列说法正确的是（）
2!3!n!

A.a=9
4

B.{a−(n+2)a}为等比数列
n+2n+1

a(−1)2(−1)3(−1)n
C.=n+++(n≥2)
n!2!3!n!
1
D.信封均被投错的概率大于
e
11.下述正确的是（）

A.若x∈R，则x(10−x)的最大值是25

−x2+x−4
B.若x>0，则的最大值是−3
x

π4
C.若x∈0,，则sinx+的最小值是4
2sinx

π924
D.若x∈0,，则+−的最小值是12
2sin2xcos2xcosx

12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫

星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy中，M(−2,0)，N(2,0)，动点P满足

|PM|⋅|PN|=5，则下列结论正确的是（）


A.点P的横坐标的取值范围是−5,5

B.OP的取值范围是[1,3]
5
C.PMN面积的最大值为
2

D.PM+PN的取值范围是25,5

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设等比数列{a}