2024级经管类高数(二)期末试题与解答A.pdf

2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A
（本科、经管类）

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.到两点4L-1,0）和8（2,0,-2）距离相等的点的轨迹为（C）.

A.x-y-2z-3=0;B.x+y-2z+3=0;

C.x+y-2z-3=0；D.x+y+2z-3=0.

2.微分方程y〃-2y+y=e'+x的非齐次特解形式可令为（八）.

A.Ax:2^+Bx+C；B.AexΛ-Bx+C；

C.Aex+x2(Bx+C)↑D.Axex+Bx+C.

3.函数/®y)=(4y-y2)(6x_“2)的驻点个数为().
b

Λ.9;B.5；C.3；D.1.

4.设。是My面上以(1,1),(-1,1),为顶点的三角形区域，R是。中在第一象限的部分，则积
分JJ(XU+COS^xsiny)db=(D).

A.2∫∫cos3xsinydσ；B.2∫∫x3yJσ；
D∖
C.4∫∫(x3j+cos3xsiny)dσ；qD.0.
5.下列级数中，绝对收敛的级数为(
C).
A∑<-ιr,√b∙T
严舄
；

C∙S（7）i∕;D.∑（-1）H-,-J=.
n=l3n=l√11

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6.函数/（羽丁）=@心也*2+产）_]/2\^2^的连续域为,（工,'）（<12+'2«].
11

7.设级数为(。〃一万)收敛,则Iim(〃“+∫∫2dσ)=3π.”=1°22≤∣
χ+y

8.设Z=In（X+lny）,则,包-包=0.
y∂x∂y

9.交换，由，心/（无,丁）①;积分次序得，为:J；f（x,y）dy.
10.投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量X的改变率（即边际成本）为C,

（x）=2x+40（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为幽万元.三、

试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

11.求解微分方程孙'-y=/满意初始条件MT=1的特解.

解：分别变量得一^二四（2分）
y（y+i）X

两端积分得In上=lnx+InC,即上=CX（5分）
y+1y+1

由HT=1，得C=；

故所求通解为X=工匕或），=—匚（8分）
>,+l-2-x

求包
12.设Z=z（x,y）由方程/+孙-z=3所确定,∂xx≈2-
y=2-x=2÷√r^y∕e
y≈2-
>∕e∙Je
Z=I

解：令尸(x,y,z)="+Λy-z-3,则

（4分）

（8分）

13.z=∕(ei,2),即可微,求自乎.Xoxoy

解：寺=*/一与月(4分)
∂xX

^=-ex-yf^-f;(8分)
∂yX

14.设/(x,y)=xsin(x+y),求九弓弓)，&（三）•

解：=sin(x+j)+Xcos(x+y),f分)
∕ry=xcos(x+1y)(2

f=2+y)-Xy)（4分）
xxCoS(XSin(X+

f=-xsin(x+y)分）
yy（6

几弓弓）二一2,启（多9=0（8分）
求嘉级数£心"的收敛区间与和函数.
15.w=l

解：收敛半径为R=I,收敛区间为（-覃）（2分）

2.=XZnX"T,令S（X）=SnyI,则（4分）

/1=1/1=1n=l

£S（X）必:=£（J。nxn~]dx）=SX"=――（6分）

所以在（一1,1）内Snx"=XS（X）=x（∫θS（x）dr）f=x（-^—）,=X（8分）
∕ι=ι°1—X（1一%）

16.I=j∖ey2clxdy其中。是第一象限中由直线与曲线我所围成的闭区域.
ry=Xy=D

解：/=Jjevdxdy=£力j：evdx（3分）
Dy

=£（y3-y）eydy（5分）

=-e-∖（8分）
2

四、试解下列各题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
17.某种产品的生产原料由AB构成，现投入原料4,8各x,y单位，可生产出产品的数量为

z=0.01χ2y.A1原料的单价分别为10元和20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单

位时，使生产数量最大？

解：目标函数：z=0.0lx2y,约束条件：IOX+20y=300

设尸yλ）=2y+2（10x+20y-300）（2分）
（x,i0.0Ix

F=0.02Λy+10Λ=0
v
«F=0.012+202=0（4分）
VX
10x+20y-300=0

消去;I解得：χ=200,y=50

当A原料购买200单位，B原料购买50单位时，生产数量最大.（6分）

18.由抛物线y=l-χ2（χ≥o）及X轴与y轴所围成的平面图形被另一抛物线＞=H2（X≥O）分
成面积相等的两部分，试确定上的值.

解：两抛物线的交点为则=Pr7（1-V