关于亚纯函数值分布和正规族的若干研究的综述报告.docx

关于亚纯函数值分布和正规族的若干研究的综述报告
亚纯函数是以复数域上的解析函数为基础的，并且可以分解为正则和奇异两部分。本文将讨论亚纯函数值的分布以及正规族的若干研究。
一、亚纯函数值分布
亚纯函数的值分布特别重要，因为它关系到函数在复平面上的性质。据此，研究亚纯函数求值过程是非常有用的。对于复数域上的解析函数f(z)，如果f(z)在整个有界区域D上都有界，f(z)将称为整函数。整函数所取的值分布具有一些特殊的性质，例如震荡减弱原理和最小调和性质等。震荡减弱原理意味着，当整函数按逆时针围线积分时，在无穷远处的震荡值随着围道的扩大而减弱。最小调和性质描述了一个整函数在复平面上的计算平均值。
对于一般的亚纯函数，它所取的值分布也具有一些特殊的性质。其中，最为重要的是极值分布定理和Picard定理。
（1）极值分布定理指出，亚纯函数f(z)在有界区域D中取到的最大和最小值要么是在D内的某个单一点处，要么在D的边界上取得。这个结论对亚纯函数求值过程的理解至关重要。它也正是整函数极值分布定理在亚纯函数中的推广。
（2）Picard定理说，如果f(z)是非常函数，则f(z)必在复平面上“接近”任意复数c，至多留下一个点无法到达，即除了c以外，在f(z)的任何邻域中，都有f(z)取到任意的复数。
由此可见，亚纯函数在复平面上的值分布十分接近复数域上的解析函数。它们的分布特点是很相似的，但也有自己的特殊之处。
二、正规族的研究
除了亚纯函数值分布，还有一个很重要的分析问题就是正规族。在复分析中，正规族指的是满足某些特定条件的一组亚纯函数的集合。它的研究对于向研究整个解析函数类的性质以及研究复变函数的极限理论等提供了重要的工具和方法。
具体来说，正规族的性质有很多。其中，最重要的性质是Montel定理。该定理表明，对于一组在某个区域上有界的亚纯函数，如果它们是正规的，则这些函数在该区域内的极限函数也是亚纯函数。这个定理对于解析函数的全空间问题和极限理论等有很多重要应用。
此外，正规族还有很多其他的性质，例如闭包、极值等等。这些性质可以进一步推广到一般的亚纯函数类中。
总结起来，亚纯函数值分布和正规族是复分析中非常重要的两个问题。在深入研究复析函数性质的过程中，它们给予我们很多有力的工具和应用。