高中数学例析直线与平面垂直问题学法指导 试题.doc

高中数学例析直线与平面垂直问题

直线和平面垂直的定义揭示了线线垂直与线面垂直相互转化的关系．如果利用定义证明线面垂直，由于涉及平面内的一条直线具有任意性，加大了证明的难度，因此，定义主要是用来得到线线垂直，而线面垂直的判定定理则揭示了通过线线垂直可得到线面垂直．由此可见线面垂直的定义与判定定理可以进行线面垂直与线线垂直的相互转化，这种线面问题与线线问题的互相转化是立体几何中的一种重要的思想方法，另外，线面垂直的性质定理在求距离时有独到的用法．本文举例谈谈它们的应用．
例1、如图，以线段AB为直径作圆，C为圆上一点，D为圆所在平面外一点，且DA上平面ABC，AE⊥CD，垂足为E．求证：AE⊥平面BDC．

分析：欲证AE⊥平面BDC，需证明AE与平面BCD中两条相交直线都垂直(已知AE⊥CD，只证AE⊥BC)，由已知易证BC⊥平面DAC，从而问题得证．
证明：由DA⊥平面ABC，得BC⊥DA．由BC⊥AC，得BC⊥平面DAC，所以BC⊥AE．又DC⊥AE，所以AE⊥平面BCD．
说明：本题是直线和平面垂直的基本练习，在线面垂直与线线垂直的反复转化中，同学们要善于从立体直观图形中观察分解出直线和平面垂直的基本图形．

例2、已知四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交
SB、SC、SD于点E、F、G，如图，求证：AE⊥SB，AG⊥SD．

分析：欲证线线垂直AE⊥SB，联想通过线面垂直AE⊥平面SBC，这需寻求AE垂直
面SBC的两条相交直线．可使结论得证。
证明：由SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得SA⊥BC．
又BC⊥AB，知BC⊥平面SAB，而AE平面SAB，所以BC⊥AE．
因SC⊥平面AEFG，AE平面AEFG，所以SC⊥AE．
∴AE⊥平面SBC，得AE⊥SB．同理可证：AG⊥SD．
说明：本例首先通过线面垂直(SA⊥面ABCD)，利用定义得到线线垂直(SA⊥BC)，再利用判定定理得到线面垂直(BC⊥面SAB)，又利用定义得到线线垂直(BC⊥AE)，同时从另一角度可推得SC⊥AE．利用定理得到线面垂直(AE⊥面SBC)，再利用定义得到线线垂直(AE⊥SB)，体现了线线与线面垂直的循环转化．

例3、如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC。BD//CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE=DA．
(2)平面BDM⊥平面ECA．
(3)平面DEA⊥平面ECA．

分析：(1)证明DE=DA，需证明Rt△DFE≌Rt△DBA．
(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线．
(3)需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．
证明：(1)取EC的中点F，连接DF．由EC⊥BC，易知DF//BC．
∴DF⊥EC．
在Rt△DFE和Rt△DBA中，
由EF=EC=BD，FD=BC=AB，知Rt△DFE≌Rt△DBA．故DE=DA．
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MNEC，所以MN//BD，即N点在平面BDM内。由EC⊥平面ABC，得EC⊥BN．由CA⊥BN，知BN⊥平面ECA．因BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．
(3)由DM//BN，BN⊥平面ECA，知DM⊥平面ECA．
由DM平面DEA，得平面DEA⊥平面ECA．
说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA是关键．从解题方法上看，由于线线垂直、线面垂直与面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直→线面垂直→面面垂直的转化途径进行．

例4、已知空间四边形ABCD的边AC=BC，AD=BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD．
分析：要证AH⊥平面BCD，需证明AH垂直平面BCD内两条相交直线．已知AH⊥BE，只要证平面BCD内与BE相交的一条直线与AH垂直即可．
证明：如图，取AB的中点F，连接CF、DF、AE．
由AC=BC，知CF⊥AB．又AD=BD，所以DF⊥AB，得AB⊥平面CDF．
CD平面CDF，得CD⊥AB．又CD⊥BE，得CD⊥平面ABE，所以CD⊥AH．
因AH⊥BE，所以AH⊥平面BCD．

说明：本例证明是利用线面垂直的定义与判定定理，由一个垂直关系联想下一个垂直关系，这样一环紧扣一环，一系列的垂直关系便相继产生，达到线线垂直与线面垂直的相互转化．这种垂直关系的转化便是证明的全过程．

例5、如图，已知二面角为60°，如果平面α内一点P到平面β的距离为，那么P在平面β上的射影O到平面α的距离为___________。

分析：空间距离的求法是历年高考考查的重点，其中点与点，点与线，点与面的距离为其基础