高二数学等比数列知识精讲 人教实验版B.doc

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高二数学等比数列知识精讲人教实验版B
一.本周教学内容：
2.3等比数列

二.教学目的
1.理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式，并能简单应用。
2.能根据等比数列的定义推导出等比数列的重要性质，并会运用性质解决问题。
3.掌握推导等比数列前n项和公式的方法（错位相减法），并能进行简单应用。
4.掌握解决等比数列问题的基本方法，应用通项公式、求和公式等解决一些问题，提高综合能力。

三.教学重点、难点
重点：等比数列的通项公式和前n项和公式；
难点：等比数列的通项公式和前n项和公式的推导以及它们的综合运用。

四.知识分析
（一）等比数列
1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数，这个数列叫等比数列，用式子表示（常数）。
理解等比数列定义时应注意：
（1）由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0。
（2）对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒。
（3）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列。
2.等比数列的通项公式是，它是由不完全归纳法得到的，在理解这一公式时，应注意：
（1）在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项。
（2）已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任意一项。
（3）用函数的观点看等比数列的通项。
等比数列｛an｝的通项公式，可以改写为。当q>0，且q≠1时，是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点。
3.如果a,G,b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项,。显然，如果a，b存在等比中项，则必有ab>0。于是，如果an≠0，且对任意的正整数n都成立，则数列｛an｝是等比数列。
4.等比数列的几个性质
设，(a1，q≠0),
（1）当q>1,a1>0，或0<q<1,a1<0时，｛an｝是递增数列；当q>1,al<0，或0<q<1,a1＞0时，｛an｝是递减数列；当q＝1时，｛an｝是常数列；当q<0时，｛an｝是摆动数列。
（2）（m、n∈N*）
（3）当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有
（4）｛an｝是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积。
（5）数列｛λan｝（λ为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；若｛bn｝是公比为q'的等比数列，则数列｛an·bn｝是公比为qq＇的等比数列，数列是公比为的等比数列；｛|an|｝是公比为|q|的等比数列。
（6）在｛an｝中，每隔k（k∈N*）项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为。
（7）当数列｛an｝是各项均为正数的等比数列时，数列{}是公差为lgq的等差数列。
（8）｛an｝中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为q的等比数列。
（9）若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，am、an、ap成等比数列。
5.等差数列与等比数列的比较
（1）相同点：
①强调的都是每一项与它前一项的关系。
②数列都由首项、公差或首项、公比确定。
（2）不同点：
①等差数列强调的是每一项与其前一项的差，等比数列强调的是每一项与其前一项的比；
②等差数列中的首项和公差可以为零，等比数列的首项和公比都不等于零；
③等差中项唯一，是，等比中项有两个，分别为。

（二）等比数列的前n项和
1.前n项和公式的导出
方法1：设等比数列a1,a2,a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an。
由等比数列的通项公式可将Sn写成①
①式两边同乘以q得：②
①－②，得，由此得时，
当q＝1时，Sn＝na1
方法2：由等比数列的定义知：
当q≠1时，，即，故，
当q＝1时，Sn＝na1
方法3：

＝a1＋q(Sn－an)，当q≠1时，，当q＝1时，Sn＝na1
注意问题：
（1）上述证法中，方法1为错位相减法，方法2为合比定理法，方法3为拆项法。各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会。
（2）公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论。
（3）当已知a1,q,n时，用公式，当已知a1,q,an时，用公式。
（4）等比数列前n项和的一般形式，一般地，如果al，q是确定的，那么，设，则上式可写为
（5）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”。
（6）前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况。
2.数列