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全国高中数学竞赛模拟试题
一、选择题（每题6分共36分）
1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[]个
A.360B.252C.720D.240
2.已知数列{}(n≥1)满足=-，且=1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[]A.2005B.2006C.2007D.2008
3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是[]
A.1B.C.D.
4.若(n∈N+),则被3除的余数是[]A.0B.1C.2D.不能确定
5.已知，且，则的最小值是[]
A、B、C、D、
6.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[]
A.17B.16C.11D.10
二、填空题（每题9分共54分）
7.在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足
f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为
8.的末三位数是_______
9.集合A中的元素均为正整数，具有性质：若，则12-，
这样的集合共有个.
10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=.在抛物线上是否存在一点C，使△ABC为正三角形，若存在，C点的坐标是.
11.在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则
的值为
12.设函数，其中函数在上是单调递减函数；
则的取值范围是_____________________.
三、解答题（每题20分共60分）
13.已知点A和曲线上的点…、。
若、、…、成等差数列且公差d>0,
(1).试将d表示为n的函数关系式.
(2).若,是否存在满足条件的.若存在,求出n可取的所有值,若不存在,说明理由.
14.设a,b,c∈(1,+∞)，证明：2(++)≥.
15.定义下列操作规则：
规则A：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：。）
规则B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。
规则C：相邻四数a、b、c、d，顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。
现按照顺序排列着1、2、3、…、2004、2005，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2005、1、2、…、2003、2004。问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？
（2）只用规则B操作，目标能否实现？（3）只用规则C操作，目标能否实现？

参考答案
1.解：末位是0的数共有个-，末位是2或4的数共有2(-)个.
由加法原理，共有-+2(-)=252个.
2.解：=-=(-)-=-,
因此，对n≥1，+++++=0，
从而数列中任意连续6项之和均为0.
2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前2005项之和为，即=2006，
于是前2006项的和等于+=2007.所以选(C).
3.解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此
4.解：=[]=[]
==-21(mod3).所以选(B).
5.解：由已知得，所以
＝
当且仅当，即时，取等号
故当时，有最小值所以选C
6.解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，4>2(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.
如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是.
借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.
故n的最小值是11，所以选(C).

6.解：

=
即。
7.解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,
于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角，所以tanB≠0,所以tanAtanC=3,
令cos2C=x,则=，所以===
所以cos(B+C-A)=cos(-2A)=-cos2A=1-2=1-=,
即f(x)=.
8.解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[100+100i+9][100+100i+21]
=10000+3000i(i+1)+189189(mod1000).
所以=189×100900(mod1000).
所以末三位是900
9.解：从集合A的性质可得，A必然是