理科数学联考试题.doc

用心爱心专心

北京市东城区示范校2009—2010学年度第一学期联考试卷
高三数学（理科）
命题校北京宏志中学2009年12月
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．
1．已知集合，，则等于（）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（）
A．B．
C．D．
3．已知是轴上不同的两点，点的横坐标为，且||=||．若直线的方程为，则直线的方程为（）
A．B．C．D．
4．已知变量满足约束条件则的最大值为（）
A．2B．3 C．4 D．5
5．右图是一个几何体的三视图（单位：），根据图
中数据，可得该几何体的体积是（）
A．24B．12C．8 D．4
6．将函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是()
A．B．C．D．
7．在中，是的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设函数，则函数（）
A．在区间，内均有零点B．在区间内有零点，在区间内无零点
C．在区间，内均无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．设等差数列的前项和为，若，则，
的最大值为．
10．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中真命题有（写出所有真命题的序号）．
11．若，则函数的最大值为．
12．若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为，该切线方程为．
13．若满足的实数，使不等式恒成立，则实数的取值范围是．
14．设表示不超过实数的最大整数，如，．则在坐标平面内满足方程的点所构成的图形的面积为．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）如果，两点的纵坐标分别为，，求和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求的值；
（Ⅲ）已知点，求函数的值域．

16．（本小题满分分）如图，在四棱锥中，底面是棱形，平面，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：直线平面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）当，且时，求直线与平面所成角的大小．

17．（本小题满分分）围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为元/,新墙的造价为元/,设利用的旧墙的长度为(单位：米)．
（Ⅰ）将修建围墙的总费用表示成的函数；
（Ⅱ）当为何值时,修建此矩形场地围墙的总费用最小？
并求出最小总费用．

18．（本小题满分分）设数列的前项和为，已知（）．
（I）设，证明数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式．

19．（本小题满分分）已知矩形中,,.以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以为焦点，且过两点的椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点的直线与(Ⅰ)中的椭圆交于两点，是否存在直线，使得以线段为直径的圆恰好过原点?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

20．（本题满分分）设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围．