与圆锥曲线有关的问题（张良兵）.doc

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与圆锥曲线有关的问题

温州中学张良兵

与圆锥曲线有关的问题
【内容地位】
圆锥曲线是高考的重中之重，高考对圆锥曲线的考查，主要考查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系和求轨迹方程等内容。涉及的数学思想方法主要有数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、整体思想，以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法。以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点。
【设计意图】
04年对圆锥曲线的考查，主要是对基本知识和基本概念的考查，没有偏题、怪题、注重通性通法，淡化特殊技巧，因此我设计此课主要通过问题带动学生对基础知识的理解深化，让学生在已有知识经验的基础上，主动研究，发现规律，形成能力。对课堂问题不是讲解，而是和学生一起研究、解决。
【基础知识梳理】
问题1.方程表示什么曲线？
问题2.双曲线的焦点是______和_______。（注意和常规下的双曲线比较同时复习常规下的圆锥曲线方程的形式）
问题3.曲线为什么表示双曲线？（引导学生回忆圆锥曲线的定义）
和学生一起探究曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是否是常数。
双曲线的两个焦点为F1(-,-)、F2(,)，设P是双曲线上任一点，

（去绝对值时注意分和两种情况）
问题4.你能用其它方法说明它是双曲线吗？
和学生一起尝试用双曲线的第二定义来探究。（同时引导学生复习相关的几何性质）
问题5.问过双曲线的某个焦点且弦长为的弦长有几条？
思考时可以将问题转化为求过双曲线右焦点弦长为的弦长有几条？
设直线与双曲线的交点为A、B。
当斜率存在时，设过右焦点的直线方程为，将其与双曲线联立，得
则。
由弦长公式得∴k=0(直观可看出)
当斜率不存在时，将代入得，∴。
（过焦点的弦长问题可用第二定义，比弦长公式运算量小，也可由此推出通径长是交同一支中最短的弦长，讲解此问题时可以适当复习直线与圆锥曲线的关系）
【例题讲解】
例题1.(2004北京东城)已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线。
⑴求椭圆C的方程；
⑵若点P为椭圆上C的点，△PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离；(此问在原题基础上添加的)
⑶若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时求点P的取值范围。
(此问也可改成求∠F1PF2的最大值)
〖设计意图〗主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用。
学生可能出现的问题：学生能够知道抛物线的开口方向，在定位顶点和准线时易出错，所以在和学生一起解决问题时，在有些易出错的地方故意出错，来加深学生对问题的理解。
解：⑴抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为,
设椭圆的方程为,则有c=4，又，
∴∴椭圆的方程为
⑵设椭圆内切圆的圆心为Q，则
设点P到x轴的距离为h，则∴。
⑶设点P的坐标为(x0,y0)，由椭圆的第二定义得：

由∠F1PF2为钝角知：
∴即为所求。（此题也可以用向量的方法解决，也可将椭圆的方程与圆的方程联立消去得，让学生来体会点P的横坐标的取值范围为什么是？）
例题2.（04湖北高考与全国高考改编）设双曲线C的方程为
⑴若双曲线与直线的右支交于不同的两点A、B，求双曲线离心率e的取值范围；
⑵①设点Q在双曲线C上第一象限上运动，试求点P的轨迹方程E；
②将①中轨迹方程E的表达式，写成的形式，求其单调区间。
〖设计意图〗通过本例引导学生运用方程思想、函数思想等数学方法，培养学生分析、解决问题的能力。
学生可能出现的问题：基础知识梳理后让学生解决问题⑴应该很容易，他们可能在解决⑵①时不能理解求P点轨迹方程的实质，求点P的轨迹实质上是求点P的横纵坐标满足的关系式，因此设出点P的坐标后，找出它和Q的关系，利用代入的方法就很容易解决了。
解：⑴由双曲线与直线有两个不同的交点知：
方程组有两组不同的解，消去y整理得：
解为一正一负，
∴∴
双曲线的离心率∴。
⑵①设代入双曲线方程得：
即所求轨迹方程为。
②由①得由得函数的定义域为，
∴在上单调递增。
例3.已知双曲线的中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴,离心率为,且双曲线上动点P到点(2,0)的最近距离为1.
⑴证明:满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；
⑵求此双曲线的方程；
⑶设此双曲线的左右焦点分别是F1、F2，Q是双曲线右支上的动点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，求垂足M的轨迹。
〖设计意图〗通过此问题培养学生逻辑推理能力及掌握数学基本方法如配方法等方法。
学生可能出现的问题：逻辑推理是学生的弱项，相当多的学生在解决推理问题时说理不清，因果关系不明显，以至于失分较多。对问题⑶学生能够求出轨迹方程，但不