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含噪离散数据的数值微分重构的中期报告
本报告旨在介绍一个涉及含噪离散数据的数值微分重构问题的中期研究进展。我们讨论了该问题的动机、背景和现有的相关研究，然后介绍了我们的研究框架和初步的实验结果。
1.动机与背景
在科学和工程领域，将实际的物理量或过程数学建模为离散数据是一个常见的实践。这些离散数据通常包含一定的噪声，且在某些情况下，该数据可能是不完整的或具有缺失值。由于噪声和缺失值的存在，对这些数据进行数值微分可能很困难，因此需要一种能够重构原始数据中的微分信息的方法。
在过去的几十年里，人们已经开发了许多重建微分数据的方法，包括插值方法、微分逆运算方法和优化方法。然而，这些方法大多数都是针对不带噪或稠密数据的情况，它们的性能通常在面对含噪离散数据时会受到很大的限制。因此，需要开发一种新的方法来应对这种情况。
2.相关研究
在目前的研究中，一些学者已经提出了一些新的方法，这些方法可以在含噪离散数据中重建微分信息。其中，基于插值和微分逆运算的方法相对较容易实现并得到广泛应用。另一个更复杂的方法是优化方法，其目标是在缺少微分数据的情况下重建它们。这些方法不仅需要一个优化目标，还需要设计一个合适的正则化项，以保持结果的光滑性。
尽管这些现有方法在某些特定条件下可以很好地工作，但它们仍然存在一些限制和挑战。例如，在面对测量噪声时，直接使用插值或微分逆运算方法可能会导致结果中出现很多的噪声，从而对应用造成很大的影响。在优化方法中，如何选择合适的正则化项仍然是一个难点。因此，需要寻找一种新的方法来解决这些问题。
3.研究框架
我们的研究框架基于最小二乘法形式化模型，该模型可以通过对原始数据进行优化来重建微分数据。模型的目标是最小化实际数据和模型预测数据之间的平方误差，并通过加入稀疏正则化项来使结果具有光滑性。
具体而言，在该模型下，需要估计微分数据和估计的函数值。通过求解一个非线性最小二乘问题，可以同时获得两个估计量。求解该问题的方法是交替线性化方法，在不断交替的优化过程中，微分和函数值可以通过使用批量梯度下降快速收敛到最优解。
4.初步实验结果
我们使用人工生成的含噪离散数据集进行了实验，设定参数进行模型学习，然后对整个数据集进行重构。实验结果表明，我们的方法可以在一定程度上降低数据噪声，并重建微分信息，从而更好地捕捉数据子集间的结构。此外，该方法的运行速度也非常快。
5.结论和展望
本中期报告介绍了针对含噪离散数据中微分信息重建的一个新方法。我们的模型在理论和实验上都具有良好的性能表现，未来的工作将继续优化模型，并在更广泛的数据集上进行实验和试验。特别是，我们将重点关注数据集的缺失值和异质性问题，这是这个领域的另一个研究挑战。