备课资料（抛体运动的规律）.doc

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备课资料
抛体理论在体育中的应用
抛体理论在体育运动中有重要应用，用来定量描述初速度、初始角度以及初始高度对运动成绩的影响，并寻找它们之间的最佳组合.
（1）基本方程
不失一般性，在此不考虑空气阻力以及转动引起的影响，运动是二维的,如图所示.设初速率为v0，初始角为α.

于是①
②
（2）滑步推铅球
铅球落地点比出手点低Δh，将y=-Δh代入方程组②，可解出铅球飞行时间T以及投掷距离s.

所以T=
s=③
由此可见，影响投掷远度的物理量有v0、α和Δh.增加初速率是提高成绩的关键，增加出手高度、选取合适出手角度也能提高投掷成绩.

由式③可知，出手角的最佳值在0°与45°之间，其值可通过微分求极值而找到.对于滑步推铅球，v0与α要用三个独立变量:v1（球出手瞬时的水平助跑速度）、v2（推铅球速度）和θ（推力角）来表示：v0=④
α=arcsin(sinθ)⑤
将式④和⑤代入式③得到s=(v1+v2cosθ)(1+)⑥
假设v1、v2和Δh保持不变，将上式对θ微分求极值，经过数值计算可找到最佳推力角以及相应的最佳出手角.将世界优秀运动员的投球速率代入，并取Δh=2.00m，可算出最佳出手角在37°左右，理论计算与实践相符.若令Δh=0，由=0
可得一组最佳角度近似而又简便实用的计算公式：
θopt=arcsin⑦
αopt=arcsin(v2/v1)sinθopt.⑧
（3）急行跳高
设H1为离地瞬间身体重心距地面的高度，H2为重心腾空的最大高度，ΔH为横杆到身体重心最高点的距离，则跳高成绩为H=H1+H2-ΔH.
由式①与式②可解出H2=
H=H1+-ΔH⑨
由此可见，跳高运动员应努力做到：
①离地前瞬间要充分伸腿和躯干，尽可能提升重心.跳高运动员宜挑选腿长的人.
②提高蹬地起跳速度v2.
③起跳角θ≈90°，腾起角α≈70°—80°.
④良好的过杆动作，使重心尽量靠近横杆，俯卧式和背越式过杆动作身体重心较低，靠近横杆甚至低于横杆.
（4）立定投篮
现在用抛体理论来寻找投篮的最佳出手角度.选取出手时球心为坐标原点，建立坐标系Oxy,如图.设篮圈中心坐标为（X，Y），利用方程②得到：

消去t，则Y=Xtanα-(1+tan2α)
移项整理得：tan2α-Xtanα+=0
解之得：tanα=［1±］⑩
将X、Y和v0的数值代入上式可计算出两个出手角度.现以罚球投篮为例，X=4.60m，设出手高度H1=2m，则Y=1.05m，出手速度v0=8m/s，则可得α1=63.73°，α2=39.13°.这是将篮球视为质点计算出来的，事实上是一个直径d=24.6cm的球，欲使篮球顺利进入直径D=45cm的篮圈，入圈角β不能太小.由几何图形可知，仅当D·cos（90°-β）≥d才能入圈，即必须满足45sinβ≥24.6，β≥33.14°.
由此可见，出手角度是受入圈角所制约的，为了找出对应关系，可由方程（2）消去t获得篮球轨迹方程：y=xtanαsec2α
其斜率为：=tanαsec2α
令x=X，则=-tanβ
联立求解得tanβ=sec2α-tanαeq\o\ac(○,11)
经计算：当α1=63.73°，β1=57.50°；
当α2=39.13°，β2=19.65°.
由此可见，为了满足β≥33.14°，最佳出手角度应为63.73°.