数学：2.doc

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2.3.2向量数量积的坐标运算
一、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积坐标运算及应用
2.过程与方法：
（1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性；
（2）从具体应用体会向量数量积的作用
3.情感、态度与价值观：
学会对待不同问题用不同的方法分析的态度
二、教学重点、难点
重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
难点：条件和公式的应用
三、教学方法
用学过的知识带动学生探求新知识
四、教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入平面向量基本定理及向量的坐标表示
向量数量积的定义及性质、运算率学生思考回答上节课内容温故知新定义形成向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。那么这一定义如何由它的代数性反映出来？

那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？

结论：已知两个非零向量，
则

从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）
向量的长度、距离和夹角公式
（1）设，则或(长度公式)
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(距离公式)
(3)cos=（）(夹角公式)
向量垂直的充要条件
设，，
则
教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算。从而很容易推导出三个公式和一个条件让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣定义深化对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识
向量在轴上的正射影：
作图

定义：||cos叫做向量在所在轴上的正射影
正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当=0时正射影为||；当=180时正射影为||
[来源:学科网ZXXK]
挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）
练习：P108例1
学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题

注意：射影是可正可负可为零的教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象应用举例例1.已知=（3，-1），=（1，-2），求，||，||，<,>
例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.
练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证
例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求的正弦值
练习.已知=(3,4)，求：（1）的单位向量；
（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解课堂小结1.数量积的定义、性质、运算率
2.几种特殊情况的讨论（注意事项）
教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？主要学生总结，教师不做过多引导让学生掌握最主要的内容；
让大多数学生知道还有某些注意事项作业看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）
总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）注意：
找向量夹角时，向量必须同起点；
定义中注意垂直时数量积为0；
两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“·”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”
数量积不满足结合率和消去率：
在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0
已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c但是ab=bca=c
在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)
5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定