2个子集中的数比大小.doc

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《高中数学研究性学习案例》
一个数学问题的探究与推广

1.问题
2006年全国高考理科数学试题的一道选择题为：设集合，选择的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有
（A）50种（B）49种（C）48种（D）47种
答案为（B）49种．该题涉及的知识并不多，主要是集合、加法原理和乘法原理，题目着重考查分析问题和解决问题的能力。
2.问题的推广
从发散型思维的角度对该问题进行推广，可得问题的一般性的结果及其计数公式：
推广1设集合，，选择的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选法共有种；
证明：先考虑当k为A中最大数时满足条件的A和B的选法有多少种．设k为A中最大的数，由条件易知设A=A1，A1是的任一子集（时A1为空集），则A1有种，故当k为A中最大的数时，A有种选法；对于其中每一个选定的A，要使B中最小的数大于A中最大的数k，当且仅当B为的非空子集，故B有种选法．由乘法原理得，当k为A中最大的数时，满足条件的A和B的选法有=种，令=，相加即得满足条件的选法共有
=种．
例如，上述高考题即为推广中的特例，结果为

1．2问题的多角度推广
对问题从多角度思维，进一步拓宽思维层面，可以对问题进行多角度的形式多样的推广，从而使我们对原问题能够有更深入全面地认识。
推广设集合，，选择的两个非空子集A和B，
（1）要使B中最小的数小于A中最大的数，则不同的选法共有种；
（2）要使B中最小的数不小于A中最大的数，则不同的选法共有种；
（3）要使B中最小的数大于A中最小的数，则不同的选法共有种；
（4）要使B中最大的数大于A中最大的数，则不同的选法共有种；
证明（1）设为A中最大的数，由条件知，同（1）可得A有种选法，设=，要使B中最小的数小于A中最大的数k，当且仅当为的非空子集（有种），且为的子集（有种），故B有=种选法。由乘法原理得，当为A中最大数时，满足条件的A和B的选择方法有种，在此式中令，相加即得满足条件的选法共有
=种．
例如当时，满足条件的选法共有种，这4种分别为
①A={2}，B={1}；②A={2}，B={1，2}；③A={1，2}，B={1}；④A={1，2}，B={1，2}。
（2）设为A中最大的数，由条件知，同（1）可得A有种选法。要使B中最小的数不小于A中最大的数k，当且仅当B为的非空子集，故B有种选法．由乘法原理得，当为A中最大数，满足条件的A和B的选法有=种，在此式中令，相加即得满足条件的选法共有
==种。
例如，当时，满足条件的A、B共有种，它们分别为：①A={1}，B={1}；②A={1}，B={2}；③A={1}，B={1，2}；④A={1，2}，B=｛2｝；⑤A={2}，B=｛2｝．
（3）设A中最小的数为，由条件知，，则A1为的子集，故A有种选法；要使B中最小的数大于A中最小的数k，当且仅当B为的非空子集，故B有种选法．由乘法原理得，当为A中最小数时，满足条件的A和B的选法有种，在此式中令，相加即得满足条件的选法共有
=种．
例如当时，满足条件的选法共有种，这2种分别为①A={1}，B={2}；②A={1，2}，B={2}．
（4）设为A中最大的数，由条件知，同（1）可得A有种选法；设=，要使B中最大的数大于A中最大的数k，当且仅当为的子集（有种），且为的非空子集（有种），故B有=种选法。由乘法原理得，当为A中最大数时，满足条件的A和B的选法有种，在此式中令，相加即得满足条件的选法共有
种。
例如，当n=2时，满足条件的选法共有种，这2种分别为：
①A={1}，B={2}；②A={1}，B={1，2}．