第15、16课时——数列复习课(2课时)（教师）.doc

第15、16课时
数列复习课(2课时)
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【自学评价】
（一）数列的概念
数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是

（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
1.等差数列
(1)定义
(2)通项公式=+（）d=+（）d=+-d
(3)求和公式

(4)中项公式A=推广：2=
(5)性质
=1\*GB3①若m+n=p+q则
=2\*GB3②若成A.P（其中）则也为A.P。
=3\*GB3③成数列。
=4\*GB3④
2.等比数列
(1)定义
(2)通项公式
(3)求和公式

(4)中项公式。
推广：
(5)性质
=1\*GB3①若m+n=p+q，则
学习札记
=2\*GB3②若成等比数列（其中），则成等比数列。
=3\*GB3③

=4\*GB3④
3.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法:
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:
4.在等差数列中,有关Sn的最值问题：
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取。
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法：
公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。
1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.:适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.:适用于其中是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法。
5.常用结论
1）1+2+3+...+n=
2）1+3+5+...+(2n-1)=
3）
4）
5）

6）
【精典范例】
一函数方程思想在研究数列问题中的运用
【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。
（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。
【解】

学习札记

二求数列的通项公式
观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。
【例2】写出下面各数列的一个通项公式
（1），…；
（2）1，－…；
（3）…；
（4）21，203，2005，20007，…；
（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（6）1，0，1，0，…；
（7）1，…
【解】

【例3】已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。
S=10－1；（2）S=10+1；
【解】

评析已知｛a｝的前n项和S求a时应注意以下三点：
(1)应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S=a推导的通项a中的n≥2。
(2)由S－S=a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。
(3)由S－S=a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。
累差法
若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求a。
【例4】求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。
【解】

学习札记

累商法
若数列｛a｝满足=f(n)(n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a.
【例5】在数列｛a｝中，a=2，a=a,求通项a。
【解】

构造法
直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。
【例6】各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。
【解】

三数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。
1.公式法
能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。
【例7】数列｛a｝的通项a=n－n，求前n项和S。
【解】

2.倒序求和法
3.错项求和法
【例8】求和S=+++…+。
请你独立完成，相信你会有更深的体会。

4.裂拆项法
【例9