第15、16课时 数列复习课(2课时)（教师）.doc

听课随笔
第15、16课时数列复习课(2课时)
一、

二、数列知识回顾
（一）数列的概念
数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是
（二）等差数列和等比数列
1.等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
等差数列等比数列定义通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中项公式A=推广：2=。
推广：性质1若m+n=p+q则若m+n=p+q，则。2若成A.P（其中）则也为A.P。若成等比数列（其中），则成等比数列。3成等差数列。成等比数列。4听课随笔
2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:验证都成立。
3.在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值。
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。
1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法。
5.常用结论
1）:1+2+3+...+n=
2）1+3+5+...+(2n-1)=
3）
4）
5）
6）
【精典范例】
一函数方程思想在研究数列问题中的运用
听课随笔
函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系：
数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。
在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。
因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。
例1（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。
（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。
分析（1）等差数列前n项和S=n+(a－)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S=An+B,运用配方法求最值；
（2）由S=An+B及S=100，S=300，求出A、B后再求S。
（3）求S的关键，在于求a,由a=dn+(a－d)(d≠0)知，它是关于n的一次函数，故可设a=An+B，由条件列出方程组求A、B。
【解】（1）设S=An+B（A≠0），
∵S=S，
∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。
又∵S=An+B=A（n+）－,
∴当n=－=7时，S有最大值S。
另解由S=S，得a+a+a+a+a+a+a+a=0,
又∵a+a=a+a=a+a=a+a,
∴4(a+a)=0,a+a=0.
由于a＞0,据题意知a=－a＞0，a＜0
因此，前7项和最大。
听课随笔
（2）设S=An+Bn(A≠0)
∵S=100，S=300,
∴
∴S=900×+30×5=600。
另解∵S=100，S=300，又S，S－S，S－S成等差数列。
∴S－S=2（S－S）－S
∴S=600
（3）设a=An+B(A≠0)
∵a=15,a=a·a,
∴
∴
a=2n－1
∴S=(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n－1）
=2×(1+2+…+n)－n
=n(n+1)－n=n.
评析从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。
二求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。
观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。
例2写出下面各数列的一个通项公式
听课随笔
（1），…；
（2）1，－…；
（3）…；
（4）21，203，2005，20007，…；
（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（