高中数学 第九章 统计 9.doc

9．2.4总体离散程度的估计
[目标]1.会求样本的标准差、方差；2.会应用相关知识解决实际统计问题．
[重点]通过数字特征的计算，提升数学运算素养．
[难点]借助实际统计问题的应用，培养数学建模素养．
要点整合夯基础
知识点标准差、方差的概念与计算公式
[填一填]
1．标准差
标准差是样本数据到平均数的平均距离，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).
2．方差
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝eq\f(1,n)·eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2.
其中，yi是样本数据，n是样本量，eq\x\to(y)是样本平均数．
[答一答]
在统计中，计算方差的目的是什么？
提示：方差与标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，其值越大，数据离散程度越大，当其值为0时，说明样本各数据相等，没有离散性.
典例讲练破题型
类型方差与标准差
[例]甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：
甲：9910098100100103
乙：9910010299100100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
[分析](1)直接利用求x与s2的公式求解．
(2)先比较x的大小，再分析s2的大小并下结论．
[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，
seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，比较它们的方差，
∵seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴乙机床加工零件的质量更稳定．

用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差方差分析稳定情况.

[变式训练]甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数eq\x\to(x)及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是(B)
甲乙丙丁eq\x\to(x)7887s26.36.378.7A.甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：∵eq\x\to(x)乙＝eq\x\to(x)丙>eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)丁，且seq\o\al(2,甲)＝seq\o\al(2,乙)<seq\o\al(2,丙)<seq\o\al(2,丁)，故应选择乙进入决赛.
课堂达标练经典
1．随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表，这50个学生午餐费的平均值和方差分别是(C)
餐费(元)345人数102020A.4,0.6 B．4，eq\r(0.6)
C．4.2,0.56 D．4.2，eq\r(0.56)
解析：根据题意，得这50个学生午餐费的平均值是：
eq\x\to(x)＝eq\f(1,50)(3×10＋4×20＋5×20)＝4.2，
方差是：s2＝eq\f(1,50)[10×(3－4.2)2＋20×(4－4.2)2＋20×(5－4.2)2]＝0.56，故选C.
2．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为(B)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：因为样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，令yi＝2xi－1(i＝1,2，…，10)，所以y1，y2，…，y10的方差为sy＝s(2x－1)＝4sx＝8，故选B.
3．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用样本估计总体，年龄在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－s，\x\to(x)＋s))内的人数占公司人数的百分比是(其中eq\x\to(x)是平均数，s为标准差，结果精确到1%)(C)