第二轮第 5讲 数形结合思想在解题中的应用.doc

第5讲数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析
例1.
分析：
，

例2.
解：法一、常规解法：

法二、数形结合解法：

例3.
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个
分析：
出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4.

分析：

例5.
分析：
构造直线的截距的方法来求之。

截距。

例6.

分析：
以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

例7.
MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）

分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，
∴ON是△MF1F2的中位线，
②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。
例8.
分析：

例9.
解法一（代数法）：，

解法二（几何法）：

例10.
分析：
转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
解：

第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

相切于第一象限时，u取最大值

三、总结提炼
数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

四、强化训练
见优化设计。
【模拟试题】
一、选择题：
1.方程的实根的个数为（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3.设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分也不必要条件
4.适合且的复数z的个数为（）
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
5.若不等式的解集为则a的值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知复数的最大值为（）
A. B. C. D.
7.若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（）
A.（0，1） B.（1，2） C.（1，2] D.[1，2]
8.定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（）
A. B.
C. D.

二、填空题：
9.若复数z满足，则的最大值为___________。
10.若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________。
11.若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。
12.函数的最小值为___________。
13.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

三、解答题：
14.若方程上有唯一解，
求m的取值范围。
15.若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。
16.设，试求下述方程有解时k的取值范围。

【试题答案】
一、选择题
1.C
提示：画出在同一坐标系中的图象，即可。

2.D
提示：画出的图象

情形1：

情形2：
3.A
4.C
提示：|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足，故满足条件的z有两个。

5.B