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第19讲平行与垂直问题（2）
【要点扫描】
1．熟练运用平行与垂直的判定定理和性质定理解决平行与垂直的问题；
2．能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；
3．进一步培养学生空间想象能力、推理论证能力；
【课前热身】
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q、R、S
是图中各棱的中点，写出下列各组直线的位置关系：
PQ与RS是，MN与RS是，
PQ与MN是。

2．直线a与直线b垂直，b又垂直于平面α，则a与α的位置关系是。

3．已知平面和直线，如果，，那么直线与平面所有可能的位置关系有.

4．设A、B、C、D是空间四个不同的点，给出下列命题：
①若AC与BD共面，则AD与BC共面
②若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线
③若AB=AC，DB=DC，则ADBC
④若，则四边形ABCD是矩形。
其中真命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上)．

【例题探究】
例1：如图1，设△ABC内接于⊙O，PA垂直于⊙O所在的平面．
（Ⅰ）请指出图中互相垂直的平面；（要求：必须列出所有的情形，但不要求证明）
（Ⅱ）若要使互相垂直的平面的对数在原有的基础上增加一对，那么在△ABC中须添加一个什么条件？（要求：添加你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性）
例1图

O
C
B
D
P
A
（Ⅲ）设D是PC的中点，AC=AB=（是常数）,试探究：在PA上是否存在点M,使MD+MB最小？若存在，试确定点M的位置，若不存在，说明理由．

例2：如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,
例2图
,是线段的中点.
(Ⅰ)求三棱锥的体积;
(Ⅱ)求证：//平面;
(Ⅲ)求证：⊥.

例3：如图，在直三棱柱中，，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面？
证明你的结论．
A
B
C
A1
B1
C1
D
例3图

【回顾反思】
1、空间线段的最值问题常转化为平面问题，体现化归和降维思想，展开与折叠问题应注意变换前后位置与关系变与不变性。
2、判定线面平行或垂直问题相互转化应熟练掌握，求三棱锥体积应根据已知条件灵活选择顶点，“作、证、算”是立体几何解题的原则。
3、立体几何考查重点是线面关系的判断、平行与垂直关系的推理证明；定位问题有一定的探索性，要善于用逆向思维方式来分析、解决问题，另外此类问题若用空间向量常容易解决。