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无网格数值积分方法的理论研究的综述报告
无网格数值积分方法也被称为粒子法或Lagrange粒子法。它是一种数值积分的方法，与传统的有限元和有限差分方法相比，无网格方法不需要对问题区域进行网格划分或离散化，而是通过可移动的粒子来描述问题。这种方法最初是应用于流体力学问题，但现在已用于求解各种科学和工程领域的问题，包括声学、热力学、电磁学以及结构力学等。
无网格数值积分方法的基本思想是利用一组可移动的粒子，来描述问题而不是离散化求解。这些粒子在空间中移动并相互交互，从而得出问题的解。其核心思想是以粒子为中心，而不是以网格为中心的方法，可以更好的处理问题的非线性性和不连续性，特别是在极端条件下，如高度非线性、高速流动或尖锐边缘处。这些情况下，传统的方法可能会失败或产生不稳定的结果。
无网格数值积分方法可以分为两类：一类是基于粒子轨迹的方法，如传统的Lagrange方法和最近的SmoothedParticleHydrodynamics方法；另一类是基于粒子密度的方法，如MovingLeastSquares方法、Element-FreeGalerkin方法和ReproducingKernelParticle方法等。
在这些方法中，Lagrange方法是最早使用的方法之一，它是一种粒子方法，首先用于气体，然后用于固体、流体和热传导问题。Lagrange方法的主要思想是使用移动的粒子来表示物理问题，粒子可以跟随物体的形状和运动轨迹移动。然后，使用拉格朗日微分方程来描述粒子的运动方程，从而获得问题的解。
SmoothedParticleHydrodynamics方法是在Lagrange方法的基础上发展的，它是一种流体动力学方法，用于模拟各种流体的动力学行为。SPH方法通过将问题域离散为一个移动的粒子团来模拟非连续流体的运动。然后，使用我们定义的核函数来计算与每个粒子相邻的粒子的质量，来计算系统中每个粒子的密度、压力和温度等基本参数。该方法可用于处理复杂的流体流动，例如涡流或旋涡。
MovingLeastSquares方法是一种基于粒子密度的方法，他是基于Lagrange插值多项式的，该方法使用移动的非结构化节点来近似问题域内的函数。然后，使用MovingLeastSquares技术来计算该函数，这个技术可以通过使用定义在域空间上的加权函数来计算问题域内任意点周围的点权重，从而计算函数。
Element-FreeGalerkin方法也是一种基于粒子密度的方法，目的是通过无网格离散化来替代有限元离散化，它使用柔性的非结构化节点来描述问题域，并且不需要建立任何形状函数。然后，使用高斯积分方案来求解方程，并通过调整几何形状来提高数值解的精度。
ReproducingKernelParticle方法是一种基于粒子密度的方法，它采用了采样函数和重建函数来描绘问题域内的积分与偏微分方程。采样函数决定了问题域内每个粒子的位置，在粒子空间中构造一个采样函数。然后将原始函数表示为重构函数和采样函数的乘积的形式，这些都使用Reproducingkernel来计算。
总的来说，无网格数值积分方法是一种新的离散化数学方法，其主要优点是不需要对问题域进行网格划分，从而可以避免网格生成和变形问题。但由于其计算复杂度高、计算量大和数值精度不高等问题，目前该技术还需要进一步的发展和推广。