（淄博专版）中考数学 第三章 函数 第七节 二次函数的综合应用要题随堂演练-人教版初中九年级全册数学试题.doc

二次函数的综合应用
要题随堂演练
1．(2018·莱芜中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，求线段DE长度的最大值；
(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

图1

图2

2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝eq\r(3)，抛物线y＝ax2－ax－a经过点B(2，eq\f(\r(3),3))，与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
(3)延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

参考答案
1．解：(1)由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,16a＋4b＋c＝0，,c＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,4)，,b＝\f(9,4)，,c＝3，))
∴y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(9,4)x＋3.
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝0，,b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,4)，,b＝3，))
∴y＝－eq\f(3,4)x＋3.
设D(a，－eq\f(3,4)a2＋eq\f(9,4)a＋3)，(0<a<4)．

如图，过点D作DM⊥x轴，交BC于点M，
∴M(a，－eq\f(3,4)a＋3)，
∴DM＝(－eq\f(3,4)a2＋eq\f(9,4)a＋3)－(－eq\f(3,4)a＋3)＝
－eq\f(3,4)a2＋3a.
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠COB，
∴△DEM∽△BOC，∴eq\f(DE,DM)＝eq\f(OB,BC).
∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴DE＝eq\f(4,5)DM，
∴DE＝－eq\f(3,5)a2＋eq\f(12,5)a＝－eq\f(3,5)(a－2)2＋eq\f(12,5)，
∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是eq\f(12,5).
(3)假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等．
∵F为AB的中点，∴OF＝eq\f(3,2)，tan∠CFO＝eq\f(OC,OF)＝2.
如图，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H.

①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝eq\f(GB,BC)＝2，∴BG＝10.
∵△GBH∽△BCO，∴eq\f(GH,BO)＝eq\f(HB,OC)＝eq\f(GB,BC)，
∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)．
设直线CG的解析式为y＝kx＋b，
∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,10k＋b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝3，))
∴y＝eq\f(1,2)x＋3，
∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋3，,y＝－\f(3,4)x2＋\f(9,4)x＋3，))解得x＝eq\f(7,3)或x＝0(舍)．
②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝eq\f(5,2)，GH＝2，
BH＝eq\f(3,2)，
∴G(eq\f(11,2)，2)．
同理可得直线CG的解析式为y＝－eq\f(2,11)x＋3，
∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2,11)x＋3，,y＝－\f(3,4)x2＋\f(9,4)x＋3，))解得x＝eq\f(107,33)或x＝0(舍)．
综上所述，存在D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，其横坐标是eq\f(7,3)或eq\f(107,33).
2．解：(1)把点B的坐标代入抛物线的解析式，
得eq\f(\r(3),3)＝a×22－2a－a，解得a＝eq\f(\r(3),3).
∴抛物线的解析式为y＝eq\f(\r(3),3)x2－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3).
(2)如图，连接CD，过点B作BF⊥x轴于