浙江省2012-2013学年八年级数学竞赛模拟试题.doc

八年级数学竞赛模拟卷
一、选择题（共6小题，每小题分，满分30分）
1、设a是一个无理数，且a、b满足ab-a-b+1=0，则b是一个（）
A.小于0的有理数B.大于0的有理数
C.小于0的无理数D.大于0的无理数
2、若关于x、y的方程有无限多组解，则k﹣m的值等于（）
A、2 B、4C、6 D、8
3、若一个数a，使得关于x的三次四项式x3﹣2ax2+8x﹣（a2+2a）有一个因式是x2﹣x+a，则a等于（）
A、6 B、﹣3C、3或7 D、3
4、若关于x的不等式|x﹣3|+|x+2|≤a有解，则a的取值范围是（）
A、a≥6 B、a≥5C、a≤5 D、a≥4
5、若x是一个不等于0的数，且x2﹣3x+1=0，则等于（）
A、 B、C、10 D、12
6、如图，点1为单位正方形内一点，且AE=BE=AB，延长AE交CD于F，作FG⊥AB于点G，则EG的长度为（）
A、 B、C、 D、
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
7、若x是一个数，且x2+x=1，则代数式x4+3x3﹣x2﹣4x+2006的值等于_________．
8、分解因式：（x4＋x2－4）（x4＋x2＋3）＋10=.
9、正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲，乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过_________分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．
10、若三个数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，则a3+b3+c3=．（用具体数字作答，它不含a、b、c）
11、如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标。

12、对任意实数x，（7x﹣1）10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a3x3+a2x2+a1x+a0都成立，则式子a10+a8+a6+a4+a2的值的个位数字是_________．
三、解答题（共4小题，每题15分，满分60分）
13、已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解。

14、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费．

根据上表的表格中的数据，求a、b、c．

15、如图P是△ABC所在平面上一点．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做费马点．

（1）当△ABC是等边三角形时，作尺规法作出△ABC费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）

（2）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=．四边形CDPE是正方形，CD在AC上，CE在BC上，P是△ABC的费马点．求：P点到AB的距离．

（3）已知：锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．

16、求出所有的正整数n，使得12+22+32+42+…+n2﹣（n+1）2﹣（n+2）2﹣（n+3）2﹣…﹣（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣10115
（参考公式：1+2+3+4+…+n=）

竞赛模拟卷答案：
一、选择题：
1B2B3D4B5A6D
二、填空题：
7、20048、（x+1）(x-1)(x2+1)(x4+x2+1)9、10410、311、(0,0)(0,3)(0,6±3√2)12、8
13、解：解原方程组得，，
假设x=1时，可求得a=﹣7，y=﹣1；
同样设x为其他整数，a、y的值都不能为整数，
∴原方程组的整数解为．
14、解：设每月用水量为xm3，支付水费为y元．
则
由题意知：0＜c≤5
∴8＜8+c≤13
从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，
故用水量15m3、22m3均大于最低限量am3，
将x=15，x=2（2分）别代入②式，
得
解得b=2，2a=c+19⑤
再分析一月份的用水量是否超过最低限量，
不妨设9＞a，将x=9代入②，得
9=8+2（9﹣a）+c，即2a=c+17⑥
⑥与⑤矛盾．
故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，
则8+c=9，
∴c=1
代入⑤式得，a=10．
答：a=10，b=2，c=1．
15、解：（1）△ABC费马点如图所示：

（2）连接AP，BP，CP并延长交A