【志鸿全优设计】2013-2014学年八年级数学上册 第六章 4 数据的离散程度例题与讲解 北师大版.doc

4数据的离散程度

1．极差
定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值．极差反映了这组数据的波动范围．
谈重点极差
(1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；(4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定．
【例1】在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170,162,155,160,168(单位：cm)，则这组数据的极差是__________cm.
解析：根据极差的概念，用最大值减去最小值即可，170－155＝15(cm)．
答案：15
2．方差
(1)定义：设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－eq\x\to(x))2，(x2－eq\x\to(x))2，(x3－eq\x\to(x))2，…，(xn－eq\x\to(x))2，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．
(2)方差的计算公式：通常用s2表示一组数据的方差，用eq\x\to(x)表示这组数据的平均数．
s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋(x3－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．
(3)标准差：标准差就是方差的算术平方根．
谈重点方差
(1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍．
【例2】已知两组数据分别为：
甲：42,41,40,39,38；
乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.
计算这两组数据的方差．
解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(42＋41＋40＋39＋38)＝40，
seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2.
eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40，
seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104.

3．极差与方差(或标准差)的异同
相同之处：
(1)都是衡量一组数据的波动大小的量；
(2)一组数据的极差、方差(或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定．
不同之处：
(1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差(或标准差)反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；
(2)极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比较复杂．
【例3】已知甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)：
甲队：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179
乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180
(1)将下表填完整：
身高(cm)176177178179180甲队(人数)340乙队(人数)211(2)甲队队员身高的平均数为_________cm，乙队队员身高的平均数为_________cm；
(3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少？
解：(1)甲队从左到右分别填：0,3，乙队从左到右分别填：4,2；
(2)178,178；
(3)经过计算可知，甲、乙两支仪仗队队员身高数据的极差分别为2cm和4cm，方差分别是0.6和1.8.
4.运用方差解决实际问题
方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比较两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题．
对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处．
方差的计算可用一句话“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度．方差的单位是原数据的平方单位，方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动体现．
点技巧方差反映波动情况
在实际问题中，如果出现要求分析稳定性的问题，因为方差是反映数据的波动大小的量，所以一般就要计算出各组数据的