高中数学 第五讲直线与曲线相交的特征式.doc

5．直线与圆锥曲线相交于两点的特征式
教学定位：
圆锥曲线也是高中数学内容的主干板块，考察以直线与曲线的位置关系为主流题型，力度强劲，以大题的方式呈现．讲为以“直线与圆锥曲线相交于两点的特征式”为切入点顺畅展开．
教学内容：
1．直线与曲线相交于两点“特征式”的生成过程，“特征式”的结构与解题功能；
2．“基本特征式”的运算，解决下列题型：
①求弦长；②求面积；③垂直运算；④简单的向量、长度形式．
3．“向量特征式”的运算，解决下列题型：
①直线上的向量关系；②直线上的线段长度关系转换为向量关系；
4．“基本特征式”与“向量特征式”综合形式．
教学目标
1．整合学校学习成果，梳理知识内容，协助科任教师的教学模式，帮助学生提练形成直线与曲线相交于两点的“特征式”；
2．熟练掌握“基本特征式”与“向量特征式”的的应用，建立规范的运算程序；
3．当直线过曲线焦点时，提高运用第二定义的能力；
4．“设问语句干扰”型的题目，要坚持运算途径，选择最熟悉的、已经解决了的问题，优化数学解题思维：“首先解决一个熟悉的子问题”；
【高考、模拟试题选编】
一、直线与圆锥曲线相交于两点运算的特征式
命题1．设直线：与曲线：相交于(，)，
(，)．求弦的长．
解:由；
又
＝＝．
【】
命题2．设直线：与曲线：相交于(，)，(，)．点是坐标原点，求的面积．
解：由；
＝＋＝·|－|·|OD|
＝··；
命题3．设直线：与曲线：相交于(，)，(，)．点O是坐标原点，若·，求相关参数．
解：，，则·＝＋
＋＋(＋)＋．
①当是锐角或、同向平行；
②当是直角；
③当是钝角或、异向平行．
命题4．设直线：与曲线：相交于、两点，与轴交于点．设＝λ，求λ的值．
解：由；
又＝λλ
λ
，由①与②求、，代入③得λ．
命题5．设定直线：与曲线：相交于、两点，与轴交于点．求的值．
解：设，且设＝λ＝λ
λλ
，由①与②求、，代入③得λ．
小结：①高考解析几何的主干考察内容是直线与圆锥曲线的位置关系．高三的第一轮系统复习，在梳理、整合知识时，做了大量的练习．由于课时紧迫，教师来不及小结运算“特征式”．新东方优能教育中学部数学组，协助科任教师提升复习效能，帮助学生形成直线与圆锥曲线相交于两点运算的“特征式”；
②“基本特征式”：；
③“向量特征式”．
二、“基本特征式”的直接应用
“直线与圆锥曲线相交于两点”问题的基本运算模式，表现为基本“特征式”的直接应用．是“直线与圆锥曲线相交于两点”问题中最简单形式．其运算途径模式化为：①两设：设点的坐标与直线方程；②联立消元、一元二次方程、特征式；
③根据题目要求，充分运用特征式．
1．弦长、面积
例1．(08、湖北、文、理）已知双曲线的两个焦点为，，点在曲线上．（1）求双曲线C的方程；（2）过的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
2．垂直
例2．设过点，的直线与椭圆：交于不同的两点、．点在直线＝－上，满足，且四边形为矩形．求直线的方程．
例3．(09、山东、改编)已知椭圆：．求证：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且，并求出该圆的方程；
3．直线与圆锥曲线的局部相交于两点
例4．(09、武汉四月)已知椭圆的两个焦点分别为和，且点、在椭圆C上．又．（1）求焦点的轨迹的方程；
【（2）若直线：()与曲线T交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围】

4．直线过曲线的焦点
例5．过点，的直线L与曲线C：相交于两点、．过、分别作直线的垂线，垂足分别为、．若，求直线的方程．

小结：(1)直线与曲线相交于两点的运算程序是：两设→基本特征式→运用特征式；
(2)基本“特征式”解决下列问题：弦长、面积、垂直、钝角与锐角的判定；
(3)求解时注意下列问题：①通过焦点的直线，考虑第二定义，用以简化运算；②“设问语句干扰”型的题目，要坚持运算模式，“先解答一个熟悉的子问题”，然后逐次展开；③直线与圆锥曲线的局部相交于两点，确定参数的范围所需要的不等式，是由“△＞0、＋、·”三个因素决定．
三．“向量特征式”的运算模式
直线与圆锥曲线F(x，y)＝0相交于两点A、B，直线L上的向量满足某种关系，是时尚的高考题型．“向量关系与线段长度比都是坐标关系”．
其运算途径是“向量特征式”的基本运算模式．
1．“向量关系转换为坐标关系”，运用“向量特征式”
例6．过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且向量＝，求直线的方程．
2．“向量特征式”的直接运用
例7．过点的直线与双曲线交于不同的两点、，与轴交于点．且＝＝，＋＝－，求点的坐标．
例8．(09、全国2、10)已知直线：与抛物线：相交、两点，为的焦点．若，则＝
A．B．C．D．
3．“线段长度比→向量关系→坐标关系”，运用“向量特征