解答直线与圆锥曲线相交问题的思考模式.doc

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解答直线与圆锥曲线相交问题的思考模式

安徽省肥东县第二中学朱永见邮编：231600

圆锥曲线问题是高考必考之题，通常有一个小题(选择题或者填空题)与一个大题(计算或者证明题)，分值在20分左右，因此圆锥曲线问题是非常重要的题型。
高考中的圆锥曲线，不少都是以直线与圆锥曲线相交作为背景的。也就是在题中出现一条直线与一个圆锥曲线，它们相交，通常其中一个解析式中有一个或者两个参数参数。然后再有一个条件，让考生来求参数范围或者某个量(线段长度或角)的最值。
在解答这类题时，不少同学往往一筹莫展，不知道从哪里下手。其实这类题大都有如下的思考模式。通常可以按如下步骤来解答：
我们以北京09年高考(文)第19题（本小题共14分）来进行详细阐述：
已知双曲线的离心率为，右准线方程为。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.
在本题中，我们可以非常轻松求出第1小题，其解答过程为：
由题意，得，解得，
∴，
∴所求双曲线的方程为.
我们着重要讲一下第2个小问的解答思维步骤：
先设出两个交点坐标
设两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),如果题中没有明确的直线方程与圆锥曲线方程，我们还要设出它们的方程。
本题中，我们先设A、B两点的坐标分别为，因为直线方程已明确：即，椭圆方程也被求出：无需再设。
把直线方程与圆锥曲线方程联立起来，消去y或，得到x1与x2,(y1,y2)的和与积
因为交点A(x1,y1),B(x2,y2)既在直线上，又在曲线上，所以把直线方程与曲线方程联立起来，构成一个二元二次方程组，然后再消去y或x，得到一个一元二次方程，根据韦达定理，得到x1与x2,(y1,y2)的和与积。这其中特别要注意参数的取值范围，因为要保证相应的一元二次方程的根的判别式为非负。这一点往往在后面的计算中有着决定性的作用。
本题中，把椭圆方程与直线联立起来，可得

消去y,化简得：
大家注意，此时明显的，判别式，所以在下面的解答中，我们就不必顾虑m的取值范围。
根据韦达定理，可得：x1+x2=2m,x1x2=-m2-2
根据题中的条件，得到一个含有x1与x2,(或者y1,与y2)的等式，变形后代入求解
在直线与圆锥曲线相交的题型里，除了给出直线(可能含有参数)与曲线方程外，一般都另有一个条件，我们正是根据这个条件，列出一个含有x1与x2,(y1,y2)的等式，然后再将式中的x1与x2,(y1,y2)进行和积变形，把上面得到关于它们和积式中代入进来，这样就可以求解了。在此式中，关于y1与y2代换，一般是通过直线方程来完成的，即把直线方程变形成斜截式。用x1表示出y1，用x2表示出y2,再进行相关变形就可以了。在此过程中，一定要注意参数的范围。
本题中，因为AB中点在上，所以M点坐标一定满足此圆的方程，而M是线段的中点，其坐标为：(，所以
，(*)
而x1+x2=2m,点A、B都在直线上，即直线：上，
∴y1=x1+m,y2=x2+m
∴y1+y2=x1+m+x2+m=4m
代入到*式中，可得：

∴
我们再举一例：
四川高考(理)第20题（本小题满分12分）
已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。
第（I）小题比较简单，其解答过程如下：
解：（Ⅰ）由条件得：，解得。
。
所以，所求椭圆的方程为。
下面来分析解答第(2)个小问题：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知、。
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.
将x=-1代入椭圆方程得。
不妨设、，
.
,与题设矛盾。
直线l的斜率存在。
点评：我们要表示出题中直线的方程，用点斜式，我们先必须考虑其斜率不存在时的这一特殊情况。下面步入解题模式中。
设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。
设、，
点评：设出两个交点，正常思维，但直线方程题中没有给出，所以我们先设出其斜率，表示出其方程。椭圆方程已求出。
联立，消y得。
由根与系数的关系知，从而，
点评：联立直线方程与椭圆方程，得出，也可得出,但在下面的解答中，用不上，我们在这里就没有必要写出这个式子了。
又，，
。

根据题中条件：，用x1与x2表示出|F2M+F2N|
再变形成x1与x2的和积形式，再代入进来，立即得到关于K的一个方程。
。
化简得
解得

整个解题过程，思考模式化很强，很多关于直线与圆锥曲线相交的问题都可以用此模式去进行