初三数学平面直角坐标系、函数及图象知识精讲 人教版.doc

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初三数学平面直角坐标系、函数及图象知识精讲
一.本周教学内容：
平面直角坐标系、函数及图象

［学习目标］
1.掌握平面直角坐标系，建立数形结合的基础。
2.理解应用函数图象解决问题。
3.深入了解应用各种函数，如一次函数、反比例函数、二次函数。

二.重点、难点：
1.平面直角坐标的概念及每一个点与一对有序实数的一一对应关系。
2.各象限内点的符号：

3.特殊点的坐标
（1）x轴上点纵坐标为0 （）
（2）y轴上点横坐标为0 （）
（3）一、三象限角分线上点，横、纵坐标相等 （）
（4）一、三象限角分线上点，横、纵坐标互为相反数 （）
（5）平行于x轴直线上的点纵坐标相等。
（6）平行于y轴直线上的点横坐标相等。
（7）关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数。
（8）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数。
（9）关于原点对称的点，横、纵坐标分别互为相反数。
4.距离
如果已知点A的坐标，点A到x轴距离为，到y轴的距离为，利用勾股定理不难推出点A到原点的距离为。
两点的距离由勾股定理知：

5.常量和变量，函数概念
6.函数三要素，定义域、解析式、值域。
7.表示函数的三种方法：
（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法
8.函数图象的定义及画法步骤：
（1）列表；（2）描点；（3）连线
9.一次函数（k、b常数，）
时，（k常数，）正比例函数
（1）图象过的直线
正比例函数的图象是过原点的直线。
（2）性质：，增函数，，减函数。
10.二次函数
（1）几种特殊二次函数

由的图象，通过平移可分别得到；的图象。
（2）二次函数的图象
二次函数的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线。
（3）二次函数的性质
二次函数的性质对应在它的图象上，有如下性质：
①抛物线的顶点是，对称轴是直线；
②若，抛物线的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点（x，y），当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值；
若，抛物线的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点，当，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当时，y有最大值；
③抛物线与y轴的交点为（0，c）；
④在二次函数中，令可得到抛物线与x轴交点情况：
当时，抛物线与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和；当△＝0时，抛物线与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当△＜0时，抛物线与x轴没有公共点。
11.反比例函数
（1）反比例函数
如果（k是常数，k≠0），那么y叫做x的反比例函数。
（2）反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线。
（3）反比例函数的性质
反比例函数的性质对应在它的图象上，有如下性质：
①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小；
②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大。
说明：因为反比例函数中，且，因此，它的图象可以无限靠近两轴，但永远不会与两轴相交。

例1.已知函数，m为何值时，
（1）y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大；
（2）函数的图象是位于第二、四象限的双曲线；
（3）函数的图象是开口向上的抛物线。
解：（1）欲符合题意，m需满足：
解得：

（2）欲符合题意，m需满足：
解得：

（3）欲符合题意，m需满足：
解得：

例2.证明点（1，4）在过点（-1，9）和点（3，-1）的直线上。
分析：要证明一个点在某个函数的图象上，只要能说明这个点的坐标满足这个函数的解析式就可以了。因此，本题可先求出图象是过点（-1，9）和（3，-1）的直线的函数解析式，再证明点（1，4）满足这个解析式即可。
证明：设图象是过点（-1，9）和（3，-1）的直线的函数解析式为，那么
解得：

∵当时，
∴点（1，4）在函数的图象上
即点（1，4）在过点（-1，9）和点（3，-1）的直线上
说明：确定函数解析式经常利用待定系数法，先设出解析式的形式，再根据题意列出关于解析式中待定系数的方程（组），解这个方程（组）求出待定系数的值。注意：有几个待定系数，就需要列出几个方程。

例3.已知：直线与直线平行，并且与直线交于y轴上同一点，直线过原点并且与双曲线交于点（-2，m），求：
（1）图象分别为直线的函数解析式；
（2）直线及x轴围成的三角形面积。
解：（1）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为
∵直线与直线平行

∵直线即与y轴交于点（0，-2）
∴直线也与y轴交于点（0，-2），即
∴直线的函数解析式为
∵直线过原点，则
∴设直线的函数解析式为
∵直线与双曲线交于点（-2，m）
∴点（-2，m）的坐标同时满足这两个解析式
，交点为（-2，1）
把（-2，1）代入，解得：
∴直线的函数解