七年级数学数学与体育中的相遇问题北师大版（大庆）知识精讲.doc

七年级数学数学与体育中的相遇问题北师大版（大庆）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
数学与体育中的相遇问题

二.重点、难点：
解答一般的相遇问题，我们常规的思路是，抓住相遇问题的基本数量关系：（甲速＋乙速）×相遇时间＝路程来解答．但有一些相遇问题的已知和所求比较特殊，如果仍采用常规的解题思路就难以解决问题，针对各种不同的情况，介绍几种特殊的思维方法．

三.具体内容：
行程问题时，常常由于做运动的人或物体自身的长度相对所行路程来说都比较短，从而忽略了这个长度.例如，某人行走几千米路程；汽车行驶几千米路程；飞机飞行几千米路程等，这里人足的长度、汽车车身的长度、飞机机身的长度跟它所行（飞行）路程比，都是很短的，可以忽略不计，因此，一般都用关系式路程＝速度×时间来解答．
但是，当做运动物体自身的长度相对所行路程来说，不是比较短时，例如，一列长300米的火车通过一座长2400米的大桥，这车长相对于桥长就不是比较短的，车长就不能忽略，这时物体的长度（车长）就需要当作路程的一部分加以考虑了.那么，物体运动的速度、路程、物长及运动的时间之间的关系怎样呢？
一列火车在一段时间内通过了一座大桥，火车怎样才算通过了大桥？应该是，从车头上桥开始，到车尾离开大桥结束．如下图示意：

想一想，这时，火车的速度、桥长、车长及过完大桥的时间有什么关系呢？
【规律】
车长＋桥长＝速度×时间．
类似地可以写出：
物长＋路程＝速度×时间．
这就是行程问题的标准关系式．特别地，
（1）当做运动物体的长度相对于所行路程来说是很短时，即可以设物长＝0，这时，标准关系式就变成
路程＝速度×时间
这就是我们通常所用的关系式．
（2）当物体通过的距离为一点时（如，火车经过一根电线杆），标准关系式就变为物长＝速度×时间．

【典型例题】
一、抓住两个数量差并采用对应的思维方法
例1.小李从A城到B城，速度是5千米/小时．小兰从B城到A城，速度是4千米/小时．两人同时出发，结果在离A、B两城的中点1千米的地方相遇，求A、B两城间的距离？

分析与解：这道题的条件与问题如图（1）所示．要求A、B两城的距离，关键是求出相遇时间．因路程是未知的，所以用路程÷（李速＋兰速）求相遇时间有一定的困难．抓住题设中隐含的两个数量差，即小李与小兰的速度差：5千米/小时－4千米/小时＝1千米/小时；相遇时小李与小兰的路差：1千米×2＝2千米．再将其对应起来思维：正因为小李每小时比小兰多走1千米，所以小李多走2千米所花去的时间2小时不正是小李、小兰相遇的时间吗？因此，求A、B两地距离的综合算式是：（5＋4）×[1×2÷（5－4）]＝18（千米）．

二、突出不变量并采用整体的思维方法
例2.C、D两地间的公路长96千米，小张骑自行车自C往D，小王骑摩托车自D往C，他们同时出发，经过80分两人相遇，小王到C地后马上折回，在第一次相遇后40分追上小张，小王到D地后马上折回，问再过多少时间小张与小王再相遇？
分析与解：依题意小张、小王三次相遇情况可画示意图（2）．这道题如果从常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的．但可根据题中小张、小王三次相遇各自的车速不变和在相距96千米的两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维．从图（2）可以看到：第三次相遇时，小王走的路程是CD＋CD＋DG，小张走的路程是CG，两人走的总路程是3个CD，所花的时间是80×3＝240（分）．可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：80×3－80－40＝120（分）．

图（2）
拓展提高：
普乔柯趣题
普乔柯是原苏联著名的数学家．1951年写成《小学数学教学法》一书．这本书中有下面一道有趣的题．
商店里三天共卖出1026米布．第二天卖出的是第一天的2倍；第三天卖出的是第二天的3倍．求三天各卖出多少米布？
这道题可以这样想：把第一天卖出布的米数看作1份．
第一天为1份；第二天为第一天的2倍；第三天为第二天的3倍，也就是第一天的2×3倍．
列综合算式可求出第一天卖布的米数：
1026÷（l＋2＋6）＝1026÷9＝114（米）
而114×2＝228（米）
228×3＝684（米）
所以三天卖的布分别是：114米、228米、684米．
请你按这种方法做一道题．
有四人捐款救灾．乙捐款为甲的2倍，丙捐款为乙的3倍，丁捐款为丙的4倍．他们共捐款132元．求四人各捐款多少元？

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1.小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟．他们同时出发，多少分钟后两人相遇?
2.甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已30分钟．甲每分钟走多少米，乙每