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两类非协调有限元方法的研究的综述报告
非协调有限元方法是常用的求解流固耦合问题的数值方法之一，其基本思路是将流场和固体场分别用不同的有限元空间描述，并通过界面上的不协调条件来建立两者之间的耦合。这种方法适用于处理任意形状的流固边界和不同的材料参数，在涉及大变形、接触、断裂等问题时尤为有优势，因此近年来得到了广泛应用。
按照不同的界面处理方式，非协调有限元方法可分为间隙元法和面元法两类。间隙元法属于基于位移间隙的方法，该方法的本质在于通过定义位移间隙来描述流固界面，其中的不协调条件是通过界面上的位移间隙来建立的。间隙元法相对于面元法而言，对位移场的描述更加灵活，适用于多材料、多相的流固问题，但同时也需要更高阶的插值多项式来描述位移场，计算精度会受到一定影响。面元法属于基于界面上的法向应力的方法，该方法的本质在于通过界面上的法向应力来描述流固界面，其中的不协调条件是通过弹性平衡方程和摩擦条件来建立的。面元法相对于间隙元法而言，对应力场的描述更加直接，计算精度更高，但同时也对界面的几何形状和材料参数有着更高的要求。
在间隙元法方面，目前已有许多研究成果。例如，Simo和Fox在1988年提出了一种基于位移间隙的惯性耦合有限元方法，在流体动力学问题的求解中得到了广泛应用。此后，Hank和Ahmed发展出了一种面向多相流体动力学问题的非协调间隙元方法，能够准确地描述两个液体之间的边界。近年来，赵永芳等人研究了两相流非协调间隙元方法的数值稳定性问题，并对该方法进行了详细分析。另外，徐佩华等人在考虑无背景流动的情况下，发展了一种二维非协调间隙元法，该方法采用分段线性插值的方法，具有良好的稳定性和精度。
在面元法方面，也有很多的研究成果。例如，Belytschko和Black在1984年首次提出了基于界面法向应力的非协调有限元方法，该方法可以用于处理各种接触和断裂问题。此后，许多学者通过改进该方法，提高了其计算精度和稳定性。例如，Sherlock和Ranjan在考虑惯性效应的情况下，通过修改界面节点的质量，提高了方法的稳定性。Jung和Hsu则通过将面元法与间隙元法相结合，解决了两相流流固耦合问题的数值计算。最近，李国平等人提出了一种自适应面元法，该方法能够自动调整边界处的网格密度，提高了方法的计算效率和稳定性。
综上所述，非协调有限元方法是求解流固耦合问题的一种有力数值方法，其应用领域广泛，研究成果丰富。未来的研究可以进一步深入探索非协调有限元方法的理论基础和数值特性，提高方法的计算效率和准确性，并将其应用于更广泛的流固耦合问题的求解。