基于LQR的一阶倒立摆最优控制系统研究.docx

基于LQR的一阶倒立摆最优控制系统研究“最优控制”大作业【摘要】介绍了最优控制基本概念和原理分析了最优控制国内外现状。针对线性二次型最优控制问题以一阶倒立摆为对象详细设计了LQR最优控制器。仿真表明该控制器具有方法简单、便于实现的优点在响应速度和控制效果方面优于传统的PID控制。【关键词】最优控制;倒立摆;LQR;PID控制1最优控制基本概念与原理1.1最优控制简介最优控制理论是现代控制理论的核心。近50年来科学技术的迅速发展对许多被控对象如宇宙飞船、导弹、卫星和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优[1]。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制问题就其本质来说乃是一变分问题而经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。为了满足工程实践的需要20世纪50年代中期出现了现代变分理论其中最常用的方法是极大值原理和动态规划这两种方法成为了目前最优控制理论的两个柱石[12]。最优控制在被控对象参数已知的情况下已经成为设计复杂系统的有效方法之一。1.2最优控制问题求解方法最优控制可分为静态最优和动态最优两类[3]。（1）静态最优是指在稳定工况下实现最优它反映系统达到稳定后的静态关系。系统中各变量不随时间变化而只表示对象在稳定工况下各参数之间的关系其特性用代数方程来描述。大多数的生产过程受控对象可以用静态最优控制来处理并且具有足够的精度。静态最优控制一般可用一个目标函数J=f(x)和若干个等式约束条件或不等式约束条件来描述要求在满足约束条件下使目标函数J为最大或最小。静态最优问题的目标函数是一个多元普通函数求解静态最优控制问题经常采用经典微分法、线性规划、分割法（优选法）和插值法等。（2）动态最优是指系统从一个工况变化到另一个工况的变化过程中应满足最优要求。在动态系统中所有的参数都是时间的函数其特性可用微分方程或差分方程来描述。动态最优控制要求寻找出控制作用的一个或一组函数而不是一个或一组数值使性能指标在满足约束条件下为最优值。这样目标函数不再是一般函数而是函数的函数。因此在数学上这是属于泛函求极值的问题。根据以上最优控制问题的基本组成部分动态最优控制问题的数学描述为：在一定的约束条件下受控系统的状态方程xt=f[xtutt](1)和使目标函数Ju·=Φxtftf+t0tfL[xtuty]dt(2)为最小的最优控制向量u*(t)。动态最优问题的目标函数是一个泛函当控制无约束时采用经典微分法或经典变分法；当控制有约束时采用极大值原理或动态规划；如果系统是线性的性能指标是二次型形式的则可采用线性二次型最优控制问题求解。1.3最优控制线性二次型理论对于线性系统若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标函数则这种动态系统最优问题成为线性系统二次型性能指标的最优控制问题简称线性二次型最优控制问题[4]。由于线性二次型问题的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解过程的规范化且可导致一个简单的线性状态反馈控制率易于构成闭环最优反馈控制便于工程实现因而在实际工程问题中得到了广泛的应用。设给定线性定常系统的状态方程为(3)二次型性能指标函数：(4)式中为n维状态向量U为r维输入向量（控制向量）为m维输出向量ABCD分别是维常数矩阵。加权阵Q和R是用来平衡状态向量和输入向量的权重。如果系统受到外界干扰而偏离零状态应施加怎样的控制U才能使系统回到零状态附近同时满足J达到最小那么这时的U就称之为最优控制。由最优控制理论可知使式(5)取得最小值的最优控制律为：(5)式中是Riccati（黎卡提）方程的解是线性最优反馈增益矩阵。这时只需求解代数Riccati方程:(6)就可获得值以及最优反馈增益矩阵值。(7)2最优控制国内外现状2.1最优控制研究现状在当前的控制系统领域中有几种最优控制方法应用的比较广泛下面就将这些最优控制的方法和研究现状做一个简单的介绍。(1)神经网络优化神经网络优化方法的研究适用于判断网络的稳定性主要是起源于Hopfield引入Lyapuov能量函数来判断的。根据神经网络的理论对应于系统稳定平衡点的是神经网络能量函数的极小点这样我们就可以根据求系统的平衡点来求解能量函数的极小点。要最终达到系统的平衡点也就是函数的极小值就需要随着时间的变化函数的运动轨迹是朝着能量函数减小的地方偏。我们可以考虑将能量函数的较小点看成是网络动力系统的稳定吸引子这样就可以使系统达到所期望的极小。神经网络优化算法的基本原理就是将全局优化的理论用到控制系统中并将木变函数达到我们所期望的值也就是最小点[5]。(2)鲁棒控制鲁棒控制的理论主要是研究不确定性系统通