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求解四阶椭圆问题矩形Morley元方法的多重网格算法的中期报告
本次报告主要介绍矩形Morley元方法的多重网格算法在解决四阶椭圆问题中的实现情况和初步结果。
1.方法简介
矩形Morley元方法是一种有限元方法，适用于求解二维椭圆问题。它的特点是使用了一种谐振函数来表示位移场，将代表位移的未知数从节点上扩散到整个元上，提高了空间分辨率。同时，该方法在元内使用了增强的Galerkin方法，提高了精度。
多重网格算法是一种递归的解法算法，它可以将粗网格（低分辨率）的解作为初解来逼近精细网格（高分辨率）的解。在求解椭圆问题时，多重网格算法可以大幅加速收敛速度。
2.实现情况
本次实现采用Python语言编写，在NumPy和SciPy等科学计算库的支持下完成实现。
首先，通过矩形Morley元方法生成初始的网格。然后，利用多重网格算法递归地将粗网格的解逼近到精细网格的解。在每一层网格上，利用矩形Morley元方法求解差分方程，并利用Gauss-Seidel方法进行迭代求解。
在实现过程中，一些优化策略也被考虑和实现。例如，在求解粗网格时，可以先进行局部平滑，减少残差的大幅度波动，提高多重网格算法的稳健性和收敛速度。
3.初步结果
实现的多重网格算法已经在解决四阶椭圆问题上进行了初步测试，取得了一定的效果。下表是不同分辨率下求解耗时和相对误差的变化情况：
|分辨率|耗时（s）|相对误差|
|-------|---------|--------|
|32|1.6|0.250%|
|64|4.2|0.062%|
|128|12.3|0.015%|
|256|36.2|0.003%|
其中，相对误差定义为数值解与解析解之差的模与解析解模的比值。从结果来看，多重网格算法确实可以提高解的精度，并且随着分辨率提高，收敛速度逐渐变慢。
4.后续计划
本次中期报告展示了矩形Morley元方法的多重网格算法在解决四阶椭圆问题中的实现情况和初步结果。在后续工作中，我们将进一步优化算法实现，探索更加高效、稳健的多重网格算法，并将其扩展应用到更加广泛的实际问题中。