2012年北京昌平高三数学一模试题与答案.doc

2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1．设集合，则下列关系中正确的是（）
A． B． C． D．
2．设平面向量，若，则等于（）
A． B． C． D．
3．若复数满足，则对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设函数，则其零点所在的区间为（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）
A． B． C． D．
6．若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（）
A． B． C． D．
7．某单位员工按年龄分为三级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为 （）
A．110 B． C．90 D．80
设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数
则当函数时，定积分的值为（）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．把容量是的样本分成组，从第组到第组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是，那么第8组的频率是．
10．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是．

11．若是上三点，切于点，，则的大小为．
12．若直线与曲线（为参数，）有两个公共点，且，则实数的值为；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线的极坐标方程为．
13．若为的三个内角，则的最小值为．
14．有下列命题：
①若存在导函数，则；
②若函数，则；
③若函数，则；
④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是．

3

三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知函数
⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；
⑵设函数，求的值域．

16．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，．为中点，为中点．
⑴求证：；
⑵求二面角的余弦值；
⑶若四棱锥的体积为，求的长．

17．某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．
统计信息

汽车行驶
路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路123公路21[4⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；
⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？
（注：毛利润销售收入运费）

18．已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，
①求在区间上的最大值；
②求函数的单调区间．

19．已知椭圆的离心率为．
⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；
⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．
i)当，求的值；
ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．

20．已知数列满足，点在直线上．
⑴求数列的通项公式；
⑵若数列满足，求的值；
⑶对于⑵中的数列，求证：．